Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29945 / 15018
↖ ↑ ↗
← N 69.329957°
W 15.507202°		 ← 215.62 m → N 69.329957°
W 15.501709°		 →
↑
215.59 m
↓
↑
215.59 m
↓
N 69.328018°
W 15.507202°		 ← 215.64 m →
46 489 m²		 N 69.328018°
W 15.501709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456932067871094 y=0.229164123535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456932067871094 × 216)
    floor (0.456932067871094 × 65536)
    floor (29945.5)     		tx = 29945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229164123535156 × 216)
    floor (0.229164123535156 × 65536)
    floor (15018.5)     		ty = 15018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29945 / 15018 ti = "16/29945/15018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29945/15018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29945 ÷ 216
    29945 ÷ 65536     		x = 0.456924438476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15018 ÷ 216
    15018 ÷ 65536     		y = 0.229156494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456924438476562 × 2 - 1) × π
    -0.086151123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27065174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229156494140625 × 2 - 1) × π
    0.54168701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.70175993651199
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27065174} λ = -0.27065174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70175993651199))-π/2
    2×atan(5.48358967402015)-π/2
    2×1.3904161755357-π/2
    2.7808323510714-1.57079632675     		φ = 1.21003602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27065174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.507202°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21003602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.329957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29945 KachelY 15018 -0.27065174 1.21003602 -15.507202 69.329957
    Oben rechts KachelX + 1 29946 KachelY 15018 -0.27055586 1.21003602 -15.501709 69.329957
    Unten links KachelX 29945 KachelY + 1 15019 -0.27065174 1.21000218 -15.507202 69.328018
    Unten rechts KachelX + 1 29946 KachelY + 1 15019 -0.27055586 1.21000218 -15.501709 69.328018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21003602-1.21000218) × R
    3.38399999999517e-05 × 6371000     		dl = 215.594639999692m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21003602-1.21000218) × R
    3.38399999999517e-05 × 6371000     		dr = 215.594639999692m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27065174--0.27055586) × cos(1.21003602) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.352985700101951 × 6371000     		do = 215.621837326096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27065174--0.27055586) × cos(1.21000218) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.353017361575608 × 6371000     		du = 215.641177784139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21003602)-sin(1.21000218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352985700101951-0.353017361575608)×R²
    abs(-0.27055586--0.27065174)×3.16614736572407e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.16614736572407e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.16614736572407e-05×40589641000000     		ar = 46488.9972484534m²