Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 29944 / 29745
↖ ↑ ↗
← S 81.176176°
E148.974610°		 ← 187.39 m → S 81.176176°
E148.985596°		 →
↑
187.37 m
↓
↑
187.37 m
↓
S 81.177861°
E148.974610°		 ← 187.35 m →
35 107 m²		 S 81.177861°
E148.985596°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913833618164062 y=0.907760620117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913833618164062 × 215)
    floor (0.913833618164062 × 32768)
    floor (29944.5)     		tx = 29944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907760620117188 × 215)
    floor (0.907760620117188 × 32768)
    floor (29745.5)     		ty = 29745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29944 / 29745 ti = "15/29944/29745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29944/29745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29944 ÷ 215
    29944 ÷ 32768     		x = 0.913818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29745 ÷ 215
    29745 ÷ 32768     		y = 0.907745361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913818359375 × 2 - 1) × π
    0.82763671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.60009744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907745361328125 × 2 - 1) × π
    -0.81549072265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.56193966329428
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60009744} λ = 2.60009744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56193966329428))-π/2
    2×atan(0.0771549406033794)-π/2
    2×0.0770023869551349-π/2
    0.15400477391027-1.57079632675     		φ = -1.41679155
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60009744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.974610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41679155 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.176176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29944 KachelY 29745 2.60009744 -1.41679155 148.974610 -81.176176
    Oben rechts KachelX + 1 29945 KachelY 29745 2.60028918 -1.41679155 148.985596 -81.176176
    Unten links KachelX 29944 KachelY + 1 29746 2.60009744 -1.41682096 148.974610 -81.177861
    Unten rechts KachelX + 1 29945 KachelY + 1 29746 2.60028918 -1.41682096 148.985596 -81.177861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41679155--1.41682096) × R
    2.94100000000075e-05 × 6371000     		dl = 187.371110000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41679155--1.41682096) × R
    2.94100000000075e-05 × 6371000     		dr = 187.371110000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60009744-2.60028918) × cos(-1.41679155) × R
    0.000191739999999996 × 0.153396730996765 × 6371000     		do = 187.385694501604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60009744-2.60028918) × cos(-1.41682096) × R
    0.000191739999999996 × 0.153367669007069 × 6371000     		du = 187.350193085848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41679155)-sin(-1.41682096))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153396730996765-0.153367669007069)×R²
    abs(2.60028918-2.60009744)×2.90619896955724e-05×R²
    0.000191739999999996×2.90619896955724e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.90619896955724e-05×40589641000000     		ar = 35107.3396102615m²