Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29944 / 29528
↖ ↑ ↗
← S 80.802854°
E148.974610°		 ← 195.25 m → S 80.802854°
E148.985596°		 →
↑
195.27 m
↓
↑
195.27 m
↓
S 80.804610°
E148.974610°		 ← 195.21 m →
38 122 m²		 S 80.804610°
E148.985596°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913833618164062 y=0.901138305664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913833618164062 × 215)
    floor (0.913833618164062 × 32768)
    floor (29944.5)     		tx = 29944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901138305664062 × 215)
    floor (0.901138305664062 × 32768)
    floor (29528.5)     		ty = 29528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29944 / 29528 ti = "15/29944/29528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29944/29528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29944 ÷ 215
    29944 ÷ 32768     		x = 0.913818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29528 ÷ 215
    29528 ÷ 32768     		y = 0.901123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913818359375 × 2 - 1) × π
    0.82763671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.60009744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901123046875 × 2 - 1) × π
    -0.80224609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.52033043442407
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60009744} λ = 2.60009744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52033043442407))-π/2
    2×atan(0.0804330245177992)-π/2
    2×0.0802602416603381-π/2
    0.160520483320676-1.57079632675     		φ = -1.41027584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60009744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.974610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41027584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.802854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29944 KachelY 29528 2.60009744 -1.41027584 148.974610 -80.802854
    Oben rechts KachelX + 1 29945 KachelY 29528 2.60028918 -1.41027584 148.985596 -80.802854
    Unten links KachelX 29944 KachelY + 1 29529 2.60009744 -1.41030649 148.974610 -80.804610
    Unten rechts KachelX + 1 29945 KachelY + 1 29529 2.60028918 -1.41030649 148.985596 -80.804610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41027584--1.41030649) × R
    3.06500000000209e-05 × 6371000     		dl = 195.271150000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41027584--1.41030649) × R
    3.06500000000209e-05 × 6371000     		dr = 195.271150000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60009744-2.60028918) × cos(-1.41027584) × R
    0.000191739999999996 × 0.159832023775436 × 6371000     		do = 195.246890752766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60009744-2.60028918) × cos(-1.41030649) × R
    0.000191739999999996 × 0.159801767729819 × 6371000     		du = 195.209930707504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41027584)-sin(-1.41030649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159832023775436-0.159801767729819)×R²
    abs(2.60028918-2.60009744)×3.02560456165168e-05×R²
    0.000191739999999996×3.02560456165168e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.02560456165168e-05×40589641000000     		ar = 38122.4762791002m²