Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 29943 / 29509
↖ ↑ ↗
← S 80.769430°
E148.963623°		 ← 195.96 m → S 80.769430°
E148.974610°		 →
↑
195.97 m
↓
↑
195.97 m
↓
S 80.771193°
E148.963623°		 ← 195.92 m →
38 399 m²		 S 80.771193°
E148.974610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913803100585938 y=0.900558471679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913803100585938 × 215)
    floor (0.913803100585938 × 32768)
    floor (29943.5)     		tx = 29943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900558471679688 × 215)
    floor (0.900558471679688 × 32768)
    floor (29509.5)     		ty = 29509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29943 / 29509 ti = "15/29943/29509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29943/29509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29943 ÷ 215
    29943 ÷ 32768     		x = 0.913787841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29509 ÷ 215
    29509 ÷ 32768     		y = 0.900543212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913787841796875 × 2 - 1) × π
    0.82757568359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59990569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900543212890625 × 2 - 1) × π
    -0.80108642578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.51668723005295
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59990569} λ = 2.59990569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51668723005295))-π/2
    2×atan(0.0807265929044103)-π/2
    2×0.0805519161715149-π/2
    0.16110383234303-1.57079632675     		φ = -1.40969249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59990569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.963623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40969249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.769430°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29943 KachelY 29509 2.59990569 -1.40969249 148.963623 -80.769430
    Oben rechts KachelX + 1 29944 KachelY 29509 2.60009744 -1.40969249 148.974610 -80.769430
    Unten links KachelX 29943 KachelY + 1 29510 2.59990569 -1.40972325 148.963623 -80.771193
    Unten rechts KachelX + 1 29944 KachelY + 1 29510 2.60009744 -1.40972325 148.974610 -80.771193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40969249--1.40972325) × R
    3.07600000000186e-05 × 6371000     		dl = 195.971960000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40969249--1.40972325) × R
    3.07600000000186e-05 × 6371000     		dr = 195.971960000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59990569-2.60009744) × cos(-1.40969249) × R
    0.000191749999999935 × 0.160407847132186 × 6371000     		do = 195.960522064612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59990569-2.60009744) × cos(-1.40972325) × R
    0.000191749999999935 × 0.16037748537306 × 6371000     		du = 195.923430947965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40969249)-sin(-1.40972325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160407847132186-0.16037748537306)×R²
    abs(2.60009744-2.59990569)×3.03617591261018e-05×R²
    0.000191749999999935×3.03617591261018e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.03617591261018e-05×40589641000000     		ar = 38399.1331855915m²