Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29942 / 19715
↖ ↑ ↗
← N 77.310710°
W 97.761841°		 ← 67.09 m → N 77.310710°
W 97.759094°		 →
↑
67.09 m
↓
↑
67.09 m
↓
N 77.310107°
W 97.761841°		 ← 67.09 m →
4 501 m²		 N 77.310107°
W 97.759094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.228443145751953 y=0.150417327880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.228443145751953 × 217)
    floor (0.228443145751953 × 131072)
    floor (29942.5)     		tx = 29942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150417327880859 × 217)
    floor (0.150417327880859 × 131072)
    floor (19715.5)     		ty = 19715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29942 / 19715 ti = "17/29942/19715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29942/19715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29942 ÷ 217
    29942 ÷ 131072     		x = 0.228439331054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19715 ÷ 217
    19715 ÷ 131072     		y = 0.150413513183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.228439331054688 × 2 - 1) × π
    -0.543121337890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.70626601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150413513183594 × 2 - 1) × π
    0.699172973632812 × 3.1415926535     		Φ = 2.19651667749059
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70626601} λ = -1.70626601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19651667749059))-π/2
    2×atan(8.9936311559072)-π/2
    2×1.46006138246075-π/2
    2.92012276492151-1.57079632675     		φ = 1.34932644
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70626601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.761841°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34932644 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.310710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29942 KachelY 19715 -1.70626601 1.34932644 -97.761841 77.310710
    Oben rechts KachelX + 1 29943 KachelY 19715 -1.70621807 1.34932644 -97.759094 77.310710
    Unten links KachelX 29942 KachelY + 1 19716 -1.70626601 1.34931591 -97.761841 77.310107
    Unten rechts KachelX + 1 29943 KachelY + 1 19716 -1.70621807 1.34931591 -97.759094 77.310107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34932644-1.34931591) × R
    1.05299999999531e-05 × 6371000     		dl = 67.086629999701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34932644-1.34931591) × R
    1.05299999999531e-05 × 6371000     		dr = 67.086629999701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70626601--1.70621807) × cos(1.34932644) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.219663845588434 × 6371000     		do = 67.0909925900491m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70626601--1.70621807) × cos(1.34931591) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.219674118387559 × 6371000     		du = 67.0941301673237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34932644)-sin(1.34931591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219663845588434-0.219674118387559)×R²
    abs(-1.70621807--1.70626601)×1.02727991249385e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.02727991249385e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.02727991249385e-05×40589641000000     		ar = 4501.01384081916m²