Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29940 / 15131
↖ ↑ ↗
← N 69.109736°
W 15.534668°		 ← 217.79 m → N 69.109736°
W 15.529175°		 →
↑
217.82 m
↓
↑
217.82 m
↓
N 69.107777°
W 15.534668°		 ← 217.81 m →
47 443 m²		 N 69.107777°
W 15.529175°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456855773925781 y=0.230888366699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456855773925781 × 216)
    floor (0.456855773925781 × 65536)
    floor (29940.5)     		tx = 29940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230888366699219 × 216)
    floor (0.230888366699219 × 65536)
    floor (15131.5)     		ty = 15131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29940 / 15131 ti = "16/29940/15131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29940/15131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29940 ÷ 216
    29940 ÷ 65536     		x = 0.45684814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15131 ÷ 216
    15131 ÷ 65536     		y = 0.230880737304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45684814453125 × 2 - 1) × π
    -0.0863037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27113110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230880737304688 × 2 - 1) × π
    0.538238525390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.69092619719786
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27113110} λ = -0.27113110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69092619719786))-π/2
    2×atan(5.42450253821903)-π/2
    2×1.38849437917218-π/2
    2.77698875834435-1.57079632675     		φ = 1.20619243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27113110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.534668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20619243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.109736°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29940 KachelY 15131 -0.27113110 1.20619243 -15.534668 69.109736
    Oben rechts KachelX + 1 29941 KachelY 15131 -0.27103523 1.20619243 -15.529175 69.109736
    Unten links KachelX 29940 KachelY + 1 15132 -0.27113110 1.20615824 -15.534668 69.107777
    Unten rechts KachelX + 1 29941 KachelY + 1 15132 -0.27103523 1.20615824 -15.529175 69.107777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20619243-1.20615824) × R
    3.4190000000045e-05 × 6371000     		dl = 217.824490000287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20619243-1.20615824) × R
    3.4190000000045e-05 × 6371000     		dr = 217.824490000287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27113110--0.27103523) × cos(1.20619243) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.356579257068556 × 6371000     		do = 217.794249253156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27113110--0.27103523) × cos(1.20615824) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.356611199383108 × 6371000     		du = 217.813759228229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20619243)-sin(1.20615824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356579257068556-0.356611199383108)×R²
    abs(-0.27103523--0.27113110)×3.1942314551392e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.1942314551392e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.1942314551392e-05×40589641000000     		ar = 47443.0461482999m²