Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29939 / 29491
↖ ↑ ↗
← S 80.737655°
E148.919678°		 ← 196.62 m → S 80.737655°
E148.930664°		 →
↑
196.61 m
↓
↑
196.61 m
↓
S 80.739423°
E148.919678°		 ← 196.58 m →
38 653 m²		 S 80.739423°
E148.930664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913681030273438 y=0.900009155273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913681030273438 × 215)
    floor (0.913681030273438 × 32768)
    floor (29939.5)     		tx = 29939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900009155273438 × 215)
    floor (0.900009155273438 × 32768)
    floor (29491.5)     		ty = 29491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29939 / 29491 ti = "15/29939/29491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29939/29491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29939 ÷ 215
    29939 ÷ 32768     		x = 0.913665771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29491 ÷ 215
    29491 ÷ 32768     		y = 0.899993896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913665771484375 × 2 - 1) × π
    0.82733154296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59913870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.899993896484375 × 2 - 1) × π
    -0.79998779296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.5132357732803
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59913870} λ = 2.59913870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5132357732803))-π/2
    2×atan(0.081005698633831)-π/2
    2×0.0808292085915618-π/2
    0.161658417183124-1.57079632675     		φ = -1.40913791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59913870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.919678°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40913791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.737655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29939 KachelY 29491 2.59913870 -1.40913791 148.919678 -80.737655
    Oben rechts KachelX + 1 29940 KachelY 29491 2.59933044 -1.40913791 148.930664 -80.737655
    Unten links KachelX 29939 KachelY + 1 29492 2.59913870 -1.40916877 148.919678 -80.739423
    Unten rechts KachelX + 1 29940 KachelY + 1 29492 2.59933044 -1.40916877 148.930664 -80.739423
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40913791--1.40916877) × R
    3.08599999998549e-05 × 6371000     		dl = 196.609059999076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40913791--1.40916877) × R
    3.08599999998549e-05 × 6371000     		dr = 196.609059999076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59913870-2.59933044) × cos(-1.40913791) × R
    0.000191739999999996 × 0.160955221080816 × 6371000     		do = 196.618961107612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59913870-2.59933044) × cos(-1.40916877) × R
    0.000191739999999996 × 0.160924763365811 × 6371000     		du = 196.581754707959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40913791)-sin(-1.40916877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160955221080816-0.160924763365811)×R²
    abs(2.59933044-2.59913870)×3.04577150045393e-05×R²
    0.000191739999999996×3.04577150045393e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.04577150045393e-05×40589641000000     		ar = 38653.4115669844m²