Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29939 / 15132
↖ ↑ ↗
← N 69.107777°
W 15.540161°		 ← 217.84 m → N 69.107777°
W 15.534668°		 →
↑
217.82 m
↓
↑
217.82 m
↓
N 69.105818°
W 15.540161°		 ← 217.86 m →
47 452 m²		 N 69.105818°
W 15.534668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456840515136719 y=0.230903625488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456840515136719 × 216)
    floor (0.456840515136719 × 65536)
    floor (29939.5)     		tx = 29939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230903625488281 × 216)
    floor (0.230903625488281 × 65536)
    floor (15132.5)     		ty = 15132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29939 / 15132 ti = "16/29939/15132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29939/15132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29939 ÷ 216
    29939 ÷ 65536     		x = 0.456832885742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15132 ÷ 216
    15132 ÷ 65536     		y = 0.23089599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456832885742188 × 2 - 1) × π
    -0.086334228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27122698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23089599609375 × 2 - 1) × π
    0.5382080078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.69083032339862
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27122698} λ = -0.27122698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69083032339862))-π/2
    2×atan(5.42398249548134)-π/2
    2×1.38847728510264-π/2
    2.77695457020527-1.57079632675     		φ = 1.20615824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27122698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.540161°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20615824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.107777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29939 KachelY 15132 -0.27122698 1.20615824 -15.540161 69.107777
    Oben rechts KachelX + 1 29940 KachelY 15132 -0.27113110 1.20615824 -15.534668 69.107777
    Unten links KachelX 29939 KachelY + 1 15133 -0.27122698 1.20612405 -15.540161 69.105818
    Unten rechts KachelX + 1 29940 KachelY + 1 15133 -0.27113110 1.20612405 -15.534668 69.105818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20615824-1.20612405) × R
    3.4190000000045e-05 × 6371000     		dl = 217.824490000287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20615824-1.20612405) × R
    3.4190000000045e-05 × 6371000     		dr = 217.824490000287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27122698--0.27113110) × cos(1.20615824) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.356611199383108 × 6371000     		do = 217.83647892773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27122698--0.27113110) × cos(1.20612405) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.356643141280796 × 6371000     		du = 217.855990683207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20615824)-sin(1.20612405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356611199383108-0.356643141280796)×R²
    abs(-0.27113110--0.27122698)×3.19418976885144e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.19418976885144e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.19418976885144e-05×40589641000000     		ar = 47452.2449996282m²