Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 29938 / 29489
↖ ↑ ↗
← S 80.734118°
E148.908691°		 ← 196.70 m → S 80.734118°
E148.919678°		 →
↑
196.67 m
↓
↑
196.67 m
↓
S 80.735886°
E148.908691°		 ← 196.67 m →
38 683 m²		 S 80.735886°
E148.919678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913650512695312 y=0.899948120117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913650512695312 × 215)
    floor (0.913650512695312 × 32768)
    floor (29938.5)     		tx = 29938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.899948120117188 × 215)
    floor (0.899948120117188 × 32768)
    floor (29489.5)     		ty = 29489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29938 / 29489 ti = "15/29938/29489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29938/29489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29938 ÷ 215
    29938 ÷ 32768     		x = 0.91363525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29489 ÷ 215
    29489 ÷ 32768     		y = 0.899932861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91363525390625 × 2 - 1) × π
    0.8272705078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59894695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.899932861328125 × 2 - 1) × π
    -0.79986572265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.51285227808334
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59894695} λ = 2.59894695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51285227808334))-π/2
    2×atan(0.081036769887641)-π/2
    2×0.0808600772101623-π/2
    0.161720154420325-1.57079632675     		φ = -1.40907617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59894695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.908691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40907617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.734118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29938 KachelY 29489 2.59894695 -1.40907617 148.908691 -80.734118
    Oben rechts KachelX + 1 29939 KachelY 29489 2.59913870 -1.40907617 148.919678 -80.734118
    Unten links KachelX 29938 KachelY + 1 29490 2.59894695 -1.40910704 148.908691 -80.735886
    Unten rechts KachelX + 1 29939 KachelY + 1 29490 2.59913870 -1.40910704 148.919678 -80.735886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40907617--1.40910704) × R
    3.08700000000162e-05 × 6371000     		dl = 196.672770000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40907617--1.40910704) × R
    3.08700000000162e-05 × 6371000     		dr = 196.672770000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59894695-2.59913870) × cos(-1.40907617) × R
    0.000191749999999935 × 0.161016155789979 × 6371000     		do = 196.703655797087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59894695-2.59913870) × cos(-1.40910704) × R
    0.000191749999999935 × 0.160985688512104 × 6371000     		du = 196.666435774593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40907617)-sin(-1.40910704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161016155789979-0.160985688512104)×R²
    abs(2.59913870-2.59894695)×3.04672778756454e-05×R²
    0.000191749999999935×3.04672778756454e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.04672778756454e-05×40589641000000     		ar = 38682.5927747198m²