Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29938 / 21870
↖ ↑ ↗
← N 75.942898°
W 97.772827°		 ← 74.17 m → N 75.942898°
W 97.770081°		 →
↑
74.16 m
↓
↑
74.16 m
↓
N 75.942231°
W 97.772827°		 ← 74.17 m →
5 500 m²		 N 75.942231°
W 97.770081°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.228412628173828 y=0.166858673095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.228412628173828 × 217)
    floor (0.228412628173828 × 131072)
    floor (29938.5)     		tx = 29938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166858673095703 × 217)
    floor (0.166858673095703 × 131072)
    floor (21870.5)     		ty = 21870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29938 / 21870 ti = "17/29938/21870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29938/21870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29938 ÷ 217
    29938 ÷ 131072     		x = 0.228408813476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21870 ÷ 217
    21870 ÷ 131072     		y = 0.166854858398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.228408813476562 × 2 - 1) × π
    -0.543182373046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.70645775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.166854858398438 × 2 - 1) × π
    0.666290283203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.09321265880937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70645775} λ = -1.70645775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09321265880937))-π/2
    2×atan(8.1109310058658)-π/2
    2×1.44812497464645-π/2
    2.89624994929291-1.57079632675     		φ = 1.32545362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70645775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.772827°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32545362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.942898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29938 KachelY 21870 -1.70645775 1.32545362 -97.772827 75.942898
    Oben rechts KachelX + 1 29939 KachelY 21870 -1.70640982 1.32545362 -97.770081 75.942898
    Unten links KachelX 29938 KachelY + 1 21871 -1.70645775 1.32544198 -97.772827 75.942231
    Unten rechts KachelX + 1 29939 KachelY + 1 21871 -1.70640982 1.32544198 -97.770081 75.942231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32545362-1.32544198) × R
    1.16400000000905e-05 × 6371000     		dl = 74.1584400005764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32545362-1.32544198) × R
    1.16400000000905e-05 × 6371000     		dr = 74.1584400005764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70645775--1.70640982) × cos(1.32545362) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.242888783191444 × 6371000     		do = 74.1690118996146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70645775--1.70640982) × cos(1.32544198) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.242900074605206 × 6371000     		du = 74.1724598686424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32545362)-sin(1.32544198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.242888783191444-0.242900074605206)×R²
    abs(-1.70640982--1.70645775)×1.12914137617992e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.12914137617992e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.12914137617992e-05×40589641000000     		ar = 5500.38606690076m²