Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29938 / 13655
↖ ↑ ↗
← N 71.816844°
W 15.545654°		 ← 190.60 m → N 71.816844°
W 15.540161°		 →
↑
190.62 m
↓
↑
190.62 m
↓
N 71.815130°
W 15.545654°		 ← 190.62 m →
36 334 m²		 N 71.815130°
W 15.540161°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456825256347656 y=0.208366394042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456825256347656 × 216)
    floor (0.456825256347656 × 65536)
    floor (29938.5)     		tx = 29938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208366394042969 × 216)
    floor (0.208366394042969 × 65536)
    floor (13655.5)     		ty = 13655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29938 / 13655 ti = "16/29938/13655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29938/13655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29938 ÷ 216
    29938 ÷ 65536     		x = 0.456817626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13655 ÷ 216
    13655 ÷ 65536     		y = 0.208358764648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456817626953125 × 2 - 1) × π
    -0.08636474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27132285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208358764648438 × 2 - 1) × π
    0.583282470703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.83243592487627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27132285} λ = -0.27132285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83243592487627))-π/2
    2×atan(6.2490904482389)-π/2
    2×1.41211835806645-π/2
    2.82423671613289-1.57079632675     		φ = 1.25344039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27132285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.545654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25344039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.816844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29938 KachelY 13655 -0.27132285 1.25344039 -15.545654 71.816844
    Oben rechts KachelX + 1 29939 KachelY 13655 -0.27122698 1.25344039 -15.540161 71.816844
    Unten links KachelX 29938 KachelY + 1 13656 -0.27132285 1.25341047 -15.545654 71.815130
    Unten rechts KachelX + 1 29939 KachelY + 1 13656 -0.27122698 1.25341047 -15.540161 71.815130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25344039-1.25341047) × R
    2.99200000000166e-05 × 6371000     		dl = 190.620320000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25344039-1.25341047) × R
    2.99200000000166e-05 × 6371000     		dr = 190.620320000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27132285--0.27122698) × cos(1.25344039) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.312055625520775 × 6371000     		do = 190.599759627785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27132285--0.27122698) × cos(1.25341047) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.312084051290974 × 6371000     		du = 190.617121740576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25344039)-sin(1.25341047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312055625520775-0.312084051290974)×R²
    abs(-0.27122698--0.27132285)×2.84257701990143e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.84257701990143e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.84257701990143e-05×40589641000000     		ar = 36333.8419608474m²