Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29937 / 41370
↖ ↑ ↗
← S 42.658202°
W 15.551148°		 ← 449.23 m → S 42.658202°
W 15.545654°		 →
↑
449.22 m
↓
↑
449.22 m
↓
S 42.662241°
W 15.551148°		 ← 449.20 m →
201 794 m²		 S 42.662241°
W 15.545654°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456809997558594 y=0.631263732910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456809997558594 × 216)
    floor (0.456809997558594 × 65536)
    floor (29937.5)     		tx = 29937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631263732910156 × 216)
    floor (0.631263732910156 × 65536)
    floor (41370.5)     		ty = 41370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29937 / 41370 ti = "16/29937/41370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29937/41370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29937 ÷ 216
    29937 ÷ 65536     		x = 0.456802368164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41370 ÷ 216
    41370 ÷ 65536     		y = 0.631256103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456802368164062 × 2 - 1) × π
    -0.086395263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27141873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631256103515625 × 2 - 1) × π
    -0.26251220703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.824706421063446
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27141873} λ = -0.27141873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.824706421063446))-π/2
    2×atan(0.438363667915275)-π/2
    2×0.413135126345798-π/2
    0.826270252691597-1.57079632675     		φ = -0.74452607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27141873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.551148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74452607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.658202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29937 KachelY 41370 -0.27141873 -0.74452607 -15.551148 -42.658202
    Oben rechts KachelX + 1 29938 KachelY 41370 -0.27132285 -0.74452607 -15.545654 -42.658202
    Unten links KachelX 29937 KachelY + 1 41371 -0.27141873 -0.74459658 -15.551148 -42.662241
    Unten rechts KachelX + 1 29938 KachelY + 1 41371 -0.27132285 -0.74459658 -15.545654 -42.662241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74452607--0.74459658) × R
    7.05099999999126e-05 × 6371000     		dl = 449.219209999443m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74452607--0.74459658) × R
    7.05099999999126e-05 × 6371000     		dr = 449.219209999443m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27141873--0.27132285) × cos(-0.74452607) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.735409130995527 × 6371000     		do = 449.225756074097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27141873--0.27132285) × cos(-0.74459658) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.735361349944766 × 6371000     		du = 449.196568948524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74452607)-sin(-0.74459658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735409130995527-0.735361349944766)×R²
    abs(-0.27132285--0.27141873)×4.77810507614196e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.77810507614196e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.77810507614196e-05×40589641000000     		ar = 201794.283630088m²