Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29937 / 15121
↖ ↑ ↗
← N 69.129314°
W 15.551148°		 ← 217.62 m → N 69.129314°
W 15.545654°		 →
↑
217.57 m
↓
↑
217.57 m
↓
N 69.127357°
W 15.551148°		 ← 217.64 m →
47 350 m²		 N 69.127357°
W 15.545654°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456809997558594 y=0.230735778808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456809997558594 × 216)
    floor (0.456809997558594 × 65536)
    floor (29937.5)     		tx = 29937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230735778808594 × 216)
    floor (0.230735778808594 × 65536)
    floor (15121.5)     		ty = 15121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29937 / 15121 ti = "16/29937/15121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29937/15121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29937 ÷ 216
    29937 ÷ 65536     		x = 0.456802368164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15121 ÷ 216
    15121 ÷ 65536     		y = 0.230728149414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456802368164062 × 2 - 1) × π
    -0.086395263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27141873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230728149414062 × 2 - 1) × π
    0.538543701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.69188493519026
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27141873} λ = -0.27141873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69188493519026))-π/2
    2×atan(5.42970570873237)-π/2
    2×1.38866523567785-π/2
    2.77733047135571-1.57079632675     		φ = 1.20653414
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27141873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.551148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20653414 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.129314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29937 KachelY 15121 -0.27141873 1.20653414 -15.551148 69.129314
    Oben rechts KachelX + 1 29938 KachelY 15121 -0.27132285 1.20653414 -15.545654 69.129314
    Unten links KachelX 29937 KachelY + 1 15122 -0.27141873 1.20649999 -15.551148 69.127357
    Unten rechts KachelX + 1 29938 KachelY + 1 15122 -0.27132285 1.20649999 -15.545654 69.127357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20653414-1.20649999) × R
    3.41500000000661e-05 × 6371000     		dl = 217.569650000421m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20653414-1.20649999) × R
    3.41500000000661e-05 × 6371000     		dr = 217.569650000421m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27141873--0.27132285) × cos(1.20653414) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.356259988537313 × 6371000     		do = 217.621941262784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27141873--0.27132285) × cos(1.20649999) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.356291897641137 × 6371000     		du = 217.64143298608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20653414)-sin(1.20649999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356259988537313-0.356291897641137)×R²
    abs(-0.27132285--0.27141873)×3.1909103823835e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.1909103823835e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.1909103823835e-05×40589641000000     		ar = 47350.0500013572m²