Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29936 / 29522
↖ ↑ ↗
← S 80.792312°
E148.886718°		 ← 195.48 m → S 80.792312°
E148.897705°		 →
↑
195.46 m
↓
↑
195.46 m
↓
S 80.794070°
E148.886718°		 ← 195.44 m →
38 205 m²		 S 80.794070°
E148.897705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913589477539062 y=0.900955200195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913589477539062 × 215)
    floor (0.913589477539062 × 32768)
    floor (29936.5)     		tx = 29936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900955200195312 × 215)
    floor (0.900955200195312 × 32768)
    floor (29522.5)     		ty = 29522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29936 / 29522 ti = "15/29936/29522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29936/29522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29936 ÷ 215
    29936 ÷ 32768     		x = 0.91357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29522 ÷ 215
    29522 ÷ 32768     		y = 0.90093994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91357421875 × 2 - 1) × π
    0.8271484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59856345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90093994140625 × 2 - 1) × π
    -0.8018798828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.51917994883319
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59856345} λ = 2.59856345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51917994883319))-π/2
    2×atan(0.0805256148052208)-π/2
    2×0.0803522361069425-π/2
    0.160704472213885-1.57079632675     		φ = -1.41009185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59856345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.886718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41009185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.792312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29936 KachelY 29522 2.59856345 -1.41009185 148.886718 -80.792312
    Oben rechts KachelX + 1 29937 KachelY 29522 2.59875520 -1.41009185 148.897705 -80.792312
    Unten links KachelX 29936 KachelY + 1 29523 2.59856345 -1.41012253 148.886718 -80.794070
    Unten rechts KachelX + 1 29937 KachelY + 1 29523 2.59875520 -1.41012253 148.897705 -80.794070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41009185--1.41012253) × R
    3.06800000000607e-05 × 6371000     		dl = 195.462280000386m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41009185--1.41012253) × R
    3.06800000000607e-05 × 6371000     		dr = 195.462280000386m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59856345-2.59875520) × cos(-1.41009185) × R
    0.000191749999999935 × 0.160013645735327 × 6371000     		do = 195.478950165804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59856345-2.59875520) × cos(-1.41012253) × R
    0.000191749999999935 × 0.159983360977886 × 6371000     		du = 195.441953117437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41009185)-sin(-1.41012253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160013645735327-0.159983360977886)×R²
    abs(2.59875520-2.59856345)×3.02847574412957e-05×R²
    0.000191749999999935×3.02847574412957e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.02847574412957e-05×40589641000000     		ar = 38205.1455312175m²