Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29936 / 15120
↖ ↑ ↗
← N 69.131271°
W 15.556641°		 ← 217.58 m → N 69.131271°
W 15.551148°		 →
↑
217.63 m
↓
↑
217.63 m
↓
N 69.129314°
W 15.556641°		 ← 217.60 m →
47 355 m²		 N 69.129314°
W 15.551148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456794738769531 y=0.230720520019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456794738769531 × 216)
    floor (0.456794738769531 × 65536)
    floor (29936.5)     		tx = 29936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230720520019531 × 216)
    floor (0.230720520019531 × 65536)
    floor (15120.5)     		ty = 15120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29936 / 15120 ti = "16/29936/15120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29936/15120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29936 ÷ 216
    29936 ÷ 65536     		x = 0.456787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15120 ÷ 216
    15120 ÷ 65536     		y = 0.230712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456787109375 × 2 - 1) × π
    -0.08642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27151460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230712890625 × 2 - 1) × π
    0.53857421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.6919808089895
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27151460} λ = -0.27151460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6919808089895))-π/2
    2×atan(5.43022630020256)-π/2
    2×1.38868231291203-π/2
    2.77736462582405-1.57079632675     		φ = 1.20656830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27151460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.556641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20656830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.131271°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29936 KachelY 15120 -0.27151460 1.20656830 -15.556641 69.131271
    Oben rechts KachelX + 1 29937 KachelY 15120 -0.27141873 1.20656830 -15.551148 69.131271
    Unten links KachelX 29936 KachelY + 1 15121 -0.27151460 1.20653414 -15.556641 69.129314
    Unten rechts KachelX + 1 29937 KachelY + 1 15121 -0.27141873 1.20653414 -15.551148 69.129314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20656830-1.20653414) × R
    3.41600000000053e-05 × 6371000     		dl = 217.633360000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20656830-1.20653414) × R
    3.41600000000053e-05 × 6371000     		dr = 217.633360000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27151460--0.27141873) × cos(1.20656830) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.356228069674021 × 6371000     		do = 217.579748287595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27151460--0.27141873) × cos(1.20653414) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.356259988537313 × 6371000     		du = 217.599243938926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20656830)-sin(1.20653414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356228069674021-0.356259988537313)×R²
    abs(-0.27141873--0.27151460)×3.19188632925682e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.19188632925682e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.19188632925682e-05×40589641000000     		ar = 47354.7331444087m²