Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29935 / 29487
↖ ↑ ↗
← S 80.730579°
E148.875733°		 ← 196.77 m → S 80.730579°
E148.886718°		 →
↑
196.74 m
↓
↑
196.74 m
↓
S 80.732348°
E148.875733°		 ← 196.73 m →
38 708 m²		 S 80.732348°
E148.886718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913558959960938 y=0.899887084960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913558959960938 × 215)
    floor (0.913558959960938 × 32768)
    floor (29935.5)     		tx = 29935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.899887084960938 × 215)
    floor (0.899887084960938 × 32768)
    floor (29487.5)     		ty = 29487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29935 / 29487 ti = "15/29935/29487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29935/29487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29935 ÷ 215
    29935 ÷ 32768     		x = 0.913543701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29487 ÷ 215
    29487 ÷ 32768     		y = 0.899871826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913543701171875 × 2 - 1) × π
    0.82708740234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59837171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.899871826171875 × 2 - 1) × π
    -0.79974365234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.51246878288638
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59837171} λ = 2.59837171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51246878288638))-π/2
    2×atan(0.0810678530594127)-π/2
    2×0.0808909575144766-π/2
    0.161781915028953-1.57079632675     		φ = -1.40901441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59837171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.875733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40901441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.730579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29935 KachelY 29487 2.59837171 -1.40901441 148.875733 -80.730579
    Oben rechts KachelX + 1 29936 KachelY 29487 2.59856345 -1.40901441 148.886718 -80.730579
    Unten links KachelX 29935 KachelY + 1 29488 2.59837171 -1.40904529 148.875733 -80.732348
    Unten rechts KachelX + 1 29936 KachelY + 1 29488 2.59856345 -1.40904529 148.886718 -80.732348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40901441--1.40904529) × R
    3.08799999999554e-05 × 6371000     		dl = 196.736479999716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40901441--1.40904529) × R
    3.08799999999554e-05 × 6371000     		dr = 196.736479999716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59837171-2.59856345) × cos(-1.40901441) × R
    0.000191739999999996 × 0.161077109624214 × 6371000     		do = 196.767857170834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59837171-2.59856345) × cos(-1.40904529) × R
    0.000191739999999996 × 0.161046632783882 × 6371000     		du = 196.730627408148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40901441)-sin(-1.40904529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161077109624214-0.161046632783882)×R²
    abs(2.59856345-2.59837171)×3.04768403321665e-05×R²
    0.000191739999999996×3.04768403321665e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.04768403321665e-05×40589641000000     		ar = 38707.7533736291m²