Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29934 / 29738
↖ ↑ ↗
← S 81.164372°
E148.864746°		 ← 187.64 m → S 81.164372°
E148.875733°		 →
↑
187.63 m
↓
↑
187.63 m
↓
S 81.166059°
E148.864746°		 ← 187.61 m →
35 204 m²		 S 81.166059°
E148.875733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29934 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913528442382812 y=0.907546997070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913528442382812 × 215)
    floor (0.913528442382812 × 32768)
    floor (29934.5)     		tx = 29934
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907546997070312 × 215)
    floor (0.907546997070312 × 32768)
    floor (29738.5)     		ty = 29738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29934 / 29738 ti = "15/29934/29738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29934/29738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29934 ÷ 215
    29934 ÷ 32768     		x = 0.91351318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29738 ÷ 215
    29738 ÷ 32768     		y = 0.90753173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91351318359375 × 2 - 1) × π
    0.8270263671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59817996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90753173828125 × 2 - 1) × π
    -0.8150634765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.56059743010492
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59817996} λ = 2.59817996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56059743010492))-π/2
    2×atan(0.0772585700572685)-π/2
    2×0.0771054023462333-π/2
    0.154210804692467-1.57079632675     		φ = -1.41658552
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59817996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.864746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41658552 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.164372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29934 KachelY 29738 2.59817996 -1.41658552 148.864746 -81.164372
    Oben rechts KachelX + 1 29935 KachelY 29738 2.59837171 -1.41658552 148.875733 -81.164372
    Unten links KachelX 29934 KachelY + 1 29739 2.59817996 -1.41661497 148.864746 -81.166059
    Unten rechts KachelX + 1 29935 KachelY + 1 29739 2.59837171 -1.41661497 148.875733 -81.166059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41658552--1.41661497) × R
    2.94499999999864e-05 × 6371000     		dl = 187.625949999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41658552--1.41661497) × R
    2.94499999999864e-05 × 6371000     		dr = 187.625949999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59817996-2.59837171) × cos(-1.41658552) × R
    0.000191749999999935 × 0.153600319309471 × 6371000     		do = 187.64417888092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59817996-2.59837171) × cos(-1.41661497) × R
    0.000191749999999935 × 0.153571218724285 × 6371000     		du = 187.608628463858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41658552)-sin(-1.41661497))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153600319309471-0.153571218724285)×R²
    abs(2.59837171-2.59817996)×2.91005851866255e-05×R²
    0.000191749999999935×2.91005851866255e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.91005851866255e-05×40589641000000     		ar = 35203.582236272m²