Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29934 / 15138
↖ ↑ ↗
← N 69.096020°
W 15.567627°		 ← 217.95 m → N 69.096020°
W 15.562134°		 →
↑
217.95 m
↓
↑
217.95 m
↓
N 69.094060°
W 15.567627°		 ← 217.97 m →
47 506 m²		 N 69.094060°
W 15.562134°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29934 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456764221191406 y=0.230995178222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456764221191406 × 216)
    floor (0.456764221191406 × 65536)
    floor (29934.5)     		tx = 29934
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230995178222656 × 216)
    floor (0.230995178222656 × 65536)
    floor (15138.5)     		ty = 15138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29934 / 15138 ti = "16/29934/15138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29934/15138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29934 ÷ 216
    29934 ÷ 65536     		x = 0.456756591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15138 ÷ 216
    15138 ÷ 65536     		y = 0.230987548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456756591796875 × 2 - 1) × π
    -0.08648681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27170635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230987548828125 × 2 - 1) × π
    0.53802490234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.69025508060318
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27170635} λ = -0.27170635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69025508060318))-π/2
    2×atan(5.42086328586566)-π/2
    2×1.38837468852629-π/2
    2.77674937705258-1.57079632675     		φ = 1.20595305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27170635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.567627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20595305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.096020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29934 KachelY 15138 -0.27170635 1.20595305 -15.567627 69.096020
    Oben rechts KachelX + 1 29935 KachelY 15138 -0.27161047 1.20595305 -15.562134 69.096020
    Unten links KachelX 29934 KachelY + 1 15139 -0.27170635 1.20591884 -15.567627 69.094060
    Unten rechts KachelX + 1 29935 KachelY + 1 15139 -0.27161047 1.20591884 -15.562134 69.094060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20595305-1.20591884) × R
    3.42099999999235e-05 × 6371000     		dl = 217.951909999512m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20595305-1.20591884) × R
    3.42099999999235e-05 × 6371000     		dr = 217.951909999512m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27170635--0.27161047) × cos(1.20595305) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.356802891223974 × 6371000     		do = 217.953574172427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27170635--0.27161047) × cos(1.20591884) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.356834849302442 × 6371000     		du = 217.973095811957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20595305)-sin(1.20591884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356802891223974-0.356834849302442)×R²
    abs(-0.27161047--0.27170635)×3.19580784671203e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.19580784671203e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.19580784671203e-05×40589641000000     		ar = 47505.5251759669m²