Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29931 / 29647
↖ ↑ ↗
← S 81.009478°
E148.831787°		 ← 190.90 m → S 81.009478°
E148.842773°		 →
↑
190.88 m
↓
↑
190.88 m
↓
S 81.011194°
E148.831787°		 ← 190.86 m →
36 434 m²		 S 81.011194°
E148.842773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913436889648438 y=0.904769897460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913436889648438 × 215)
    floor (0.913436889648438 × 32768)
    floor (29931.5)     		tx = 29931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904769897460938 × 215)
    floor (0.904769897460938 × 32768)
    floor (29647.5)     		ty = 29647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29931 / 29647 ti = "15/29931/29647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29931/29647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29931 ÷ 215
    29931 ÷ 32768     		x = 0.913421630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29647 ÷ 215
    29647 ÷ 32768     		y = 0.904754638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913421630859375 × 2 - 1) × π
    0.82684326171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59760472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904754638671875 × 2 - 1) × π
    -0.80950927734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.54314839864322
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59760472} λ = 2.59760472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54314839864322))-π/2
    2×atan(0.078618487392891)-π/2
    2×0.0784571086544953-π/2
    0.156914217308991-1.57079632675     		φ = -1.41388211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59760472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.831787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41388211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.009478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29931 KachelY 29647 2.59760472 -1.41388211 148.831787 -81.009478
    Oben rechts KachelX + 1 29932 KachelY 29647 2.59779646 -1.41388211 148.842773 -81.009478
    Unten links KachelX 29931 KachelY + 1 29648 2.59760472 -1.41391207 148.831787 -81.011194
    Unten rechts KachelX + 1 29932 KachelY + 1 29648 2.59779646 -1.41391207 148.842773 -81.011194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41388211--1.41391207) × R
    2.99599999999955e-05 × 6371000     		dl = 190.875159999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41388211--1.41391207) × R
    2.99599999999955e-05 × 6371000     		dr = 190.875159999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59760472-2.59779646) × cos(-1.41388211) × R
    0.000191739999999996 × 0.156271083560202 × 6371000     		do = 190.896933286434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59760472-2.59779646) × cos(-1.41391207) × R
    0.000191739999999996 × 0.156241491572525 × 6371000     		du = 190.860784438108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41388211)-sin(-1.41391207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156271083560202-0.156241491572525)×R²
    abs(2.59779646-2.59760472)×2.95919876768247e-05×R²
    0.000191739999999996×2.95919876768247e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.95919876768247e-05×40589641000000     		ar = 36434.0327287067m²