Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29931 / 20795
↖ ↑ ↗
← N 54.791184°
W 15.584107°		 ← 352.19 m → N 54.791184°
W 15.578613°		 →
↑
352.19 m
↓
↑
352.19 m
↓
N 54.788017°
W 15.584107°		 ← 352.22 m →
124 043 m²		 N 54.788017°
W 15.578613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456718444824219 y=0.317314147949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456718444824219 × 216)
    floor (0.456718444824219 × 65536)
    floor (29931.5)     		tx = 29931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317314147949219 × 216)
    floor (0.317314147949219 × 65536)
    floor (20795.5)     		ty = 20795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29931 / 20795 ti = "16/29931/20795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29931/20795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29931 ÷ 216
    29931 ÷ 65536     		x = 0.456710815429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20795 ÷ 216
    20795 ÷ 65536     		y = 0.317306518554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456710815429688 × 2 - 1) × π
    -0.086578369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27199397
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317306518554688 × 2 - 1) × π
    0.365386962890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.14789699830186
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27199397} λ = -0.27199397}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14789699830186))-π/2
    2×atan(3.15155820348209)-π/2
    2×1.26354144955784-π/2
    2.52708289911569-1.57079632675     		φ = 0.95628657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27199397} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.584107°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95628657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.791184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29931 KachelY 20795 -0.27199397 0.95628657 -15.584107 54.791184
    Oben rechts KachelX + 1 29932 KachelY 20795 -0.27189809 0.95628657 -15.578613 54.791184
    Unten links KachelX 29931 KachelY + 1 20796 -0.27199397 0.95623129 -15.584107 54.788017
    Unten rechts KachelX + 1 29932 KachelY + 1 20796 -0.27189809 0.95623129 -15.578613 54.788017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95628657-0.95623129) × R
    5.52799999999909e-05 × 6371000     		dl = 352.188879999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95628657-0.95623129) × R
    5.52799999999909e-05 × 6371000     		dr = 352.188879999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27199397--0.27189809) × cos(0.95628657) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.576558035336341 × 6371000     		do = 352.191329191069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27199397--0.27189809) × cos(0.95623129) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.576603201322039 × 6371000     		du = 352.218918900278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95628657)-sin(0.95623129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576558035336341-0.576603201322039)×R²
    abs(-0.27189809--0.27199397)×4.51659856973707e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.51659856973707e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.51659856973707e-05×40589641000000     		ar = 124042.72819962m²