Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29931 / 17883
↖ ↑ ↗
← N 63.007627°
W 15.584107°		 ← 277.25 m → N 63.007627°
W 15.578613°		 →
↑
277.27 m
↓
↑
277.27 m
↓
N 63.005134°
W 15.584107°		 ← 277.27 m →
76 875 m²		 N 63.005134°
W 15.578613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17883 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456718444824219 y=0.272880554199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456718444824219 × 216)
    floor (0.456718444824219 × 65536)
    floor (29931.5)     		tx = 29931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272880554199219 × 216)
    floor (0.272880554199219 × 65536)
    floor (17883.5)     		ty = 17883
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29931 / 17883 ti = "16/29931/17883"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29931/17883.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29931 ÷ 216
    29931 ÷ 65536     		x = 0.456710815429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17883 ÷ 216
    17883 ÷ 65536     		y = 0.272872924804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456710815429688 × 2 - 1) × π
    -0.086578369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27199397
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272872924804688 × 2 - 1) × π
    0.454254150390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.42708150168907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27199397} λ = -0.27199397}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42708150168907))-π/2
    2×atan(4.16652144440132)-π/2
    2×1.33524343658258-π/2
    2.67048687316517-1.57079632675     		φ = 1.09969055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27199397} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.584107°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09969055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.007627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29931 KachelY 17883 -0.27199397 1.09969055 -15.584107 63.007627
    Oben rechts KachelX + 1 29932 KachelY 17883 -0.27189809 1.09969055 -15.578613 63.007627
    Unten links KachelX 29931 KachelY + 1 17884 -0.27199397 1.09964703 -15.584107 63.005134
    Unten rechts KachelX + 1 29932 KachelY + 1 17884 -0.27189809 1.09964703 -15.578613 63.005134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09969055-1.09964703) × R
    4.35199999999636e-05 × 6371000     		dl = 277.265919999768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09969055-1.09964703) × R
    4.35199999999636e-05 × 6371000     		dr = 277.265919999768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27199397--0.27189809) × cos(1.09969055) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.453871883820723 × 6371000     		do = 277.248311962255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27199397--0.27189809) × cos(1.09964703) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.45391066262465 × 6371000     		du = 277.272000052027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09969055)-sin(1.09964703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453871883820723-0.45391066262465)×R²
    abs(-0.27189809--0.27199397)×3.87788039274417e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.87788039274417e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.87788039274417e-05×40589641000000     		ar = 76874.7922469266m²