Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2993 / 3427
↖ ↑ ↗
← N 28.188244°
W 48.471679°		 ← 4 306.96 m → N 28.188244°
W 48.427734°		 →
↑
4 307.75 m
↓
↑
4 307.75 m
↓
N 28.149503°
W 48.471679°		 ← 4 308.52 m →
18 556 662 m²		 N 28.149503°
W 48.427734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.36541748046875 y=0.41839599609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.36541748046875 × 213)
    floor (0.36541748046875 × 8192)
    floor (2993.5)     		tx = 2993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.41839599609375 × 213)
    floor (0.41839599609375 × 8192)
    floor (3427.5)     		ty = 3427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2993 / 3427 ti = "13/2993/3427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2993/3427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2993 ÷ 213
    2993 ÷ 8192     		x = 0.3653564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3427 ÷ 213
    3427 ÷ 8192     		y = 0.4183349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3653564453125 × 2 - 1) × π
    -0.269287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.84599040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4183349609375 × 2 - 1) × π
    0.163330078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.513116573533081
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84599040} λ = -0.84599040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.513116573533081))-π/2
    2×atan(1.67048929332941)-π/2
    2×1.03138699434331-π/2
    2.06277398868662-1.57079632675     		φ = 0.49197766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84599040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.471679°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49197766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.188244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2993 KachelY 3427 -0.84599040 0.49197766 -48.471679 28.188244
    Oben rechts KachelX + 1 2994 KachelY 3427 -0.84522341 0.49197766 -48.427734 28.188244
    Unten links KachelX 2993 KachelY + 1 3428 -0.84599040 0.49130151 -48.471679 28.149503
    Unten rechts KachelX + 1 2994 KachelY + 1 3428 -0.84522341 0.49130151 -48.427734 28.149503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49197766-0.49130151) × R
    0.000676149999999986 × 6371000     		dl = 4307.75164999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49197766-0.49130151) × R
    0.000676149999999986 × 6371000     		dr = 4307.75164999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84599040--0.84522341) × cos(0.49197766) × R
    0.000766990000000023 × 0.88140039576013 × 6371000     		do = 4306.95711968535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84599040--0.84522341) × cos(0.49130151) × R
    0.000766990000000023 × 0.881719587179151 × 6371000     		du = 4308.51684641262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49197766)-sin(0.49130151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88140039576013-0.881719587179151)×R²
    abs(-0.84522341--0.84599040)×0.000319191419020926×R²
    0.000766990000000023×0.000319191419020926×6371000²
    0.000766990000000023×0.000319191419020926×40589641000000     		ar = 18556661.8034723m²