Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29928 / 29651
↖ ↑ ↗
← S 81.016342°
E148.798828°		 ← 190.76 m → S 81.016342°
E148.809814°		 →
↑
190.75 m
↓
↑
190.75 m
↓
S 81.018058°
E148.798828°		 ← 190.73 m →
36 384 m²		 S 81.018058°
E148.809814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913345336914062 y=0.904891967773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913345336914062 × 215)
    floor (0.913345336914062 × 32768)
    floor (29928.5)     		tx = 29928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904891967773438 × 215)
    floor (0.904891967773438 × 32768)
    floor (29651.5)     		ty = 29651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29928 / 29651 ti = "15/29928/29651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29928/29651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29928 ÷ 215
    29928 ÷ 32768     		x = 0.913330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29651 ÷ 215
    29651 ÷ 32768     		y = 0.904876708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913330078125 × 2 - 1) × π
    0.82666015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59702947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904876708984375 × 2 - 1) × π
    -0.80975341796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.54391538903714
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59702947} λ = 2.59702947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54391538903714))-π/2
    2×atan(0.0785582108869815)-π/2
    2×0.0783972021389487-π/2
    0.156794404277897-1.57079632675     		φ = -1.41400192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59702947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.798828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41400192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.016342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29928 KachelY 29651 2.59702947 -1.41400192 148.798828 -81.016342
    Oben rechts KachelX + 1 29929 KachelY 29651 2.59722122 -1.41400192 148.809814 -81.016342
    Unten links KachelX 29928 KachelY + 1 29652 2.59702947 -1.41403186 148.798828 -81.018058
    Unten rechts KachelX + 1 29929 KachelY + 1 29652 2.59722122 -1.41403186 148.809814 -81.018058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41400192--1.41403186) × R
    2.99399999998951e-05 × 6371000     		dl = 190.747739999331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41400192--1.41403186) × R
    2.99399999998951e-05 × 6371000     		dr = 190.747739999331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59702947-2.59722122) × cos(-1.41400192) × R
    0.000191750000000379 × 0.156152744400133 × 6371000     		do = 190.762321554797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59702947-2.59722122) × cos(-1.41403186) × R
    0.000191750000000379 × 0.156123171606537 × 6371000     		du = 190.726194269408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41400192)-sin(-1.41403186))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156152744400133-0.156123171606537)×R²
    abs(2.59722122-2.59702947)×2.95727935955559e-05×R²
    0.000191750000000379×2.95727935955559e-05×6371000²
    0.000191750000000379×2.95727935955559e-05×40589641000000     		ar = 36384.0361173076m²