Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29925 / 29932
↖ ↑ ↗
← S 81.485802°
E148.765869°		 ← 180.87 m → S 81.485802°
E148.776856°		 →
↑
180.81 m
↓
↑
180.81 m
↓
S 81.487428°
E148.765869°		 ← 180.83 m →
32 700 m²		 S 81.487428°
E148.776856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29925 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913253784179688 y=0.913467407226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913253784179688 × 215)
    floor (0.913253784179688 × 32768)
    floor (29925.5)     		tx = 29925
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.913467407226562 × 215)
    floor (0.913467407226562 × 32768)
    floor (29932.5)     		ty = 29932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29925 / 29932 ti = "15/29925/29932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29925/29932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29925 ÷ 215
    29925 ÷ 32768     		x = 0.913238525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29932 ÷ 215
    29932 ÷ 32768     		y = 0.9134521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913238525390625 × 2 - 1) × π
    0.82647705078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59645423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9134521484375 × 2 - 1) × π
    -0.826904296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.59779646421008
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59645423} λ = 2.59645423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59779646421008))-π/2
    2×atan(0.074437423154973)-π/2
    2×0.0743003942450106-π/2
    0.148600788490021-1.57079632675     		φ = -1.42219554
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59645423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.765869°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42219554 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.485802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29925 KachelY 29932 2.59645423 -1.42219554 148.765869 -81.485802
    Oben rechts KachelX + 1 29926 KachelY 29932 2.59664598 -1.42219554 148.776856 -81.485802
    Unten links KachelX 29925 KachelY + 1 29933 2.59645423 -1.42222392 148.765869 -81.487428
    Unten rechts KachelX + 1 29926 KachelY + 1 29933 2.59664598 -1.42222392 148.776856 -81.487428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42219554--1.42222392) × R
    2.838000000005e-05 × 6371000     		dl = 180.808980000319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42219554--1.42222392) × R
    2.838000000005e-05 × 6371000     		dr = 180.808980000319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59645423-2.59664598) × cos(-1.42219554) × R
    0.000191749999999935 × 0.148054485091179 × 6371000     		do = 180.869170125862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59645423-2.59664598) × cos(-1.42222392) × R
    0.000191749999999935 × 0.148026417801699 × 6371000     		du = 180.834882023393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42219554)-sin(-1.42222392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148054485091179-0.148026417801699)×R²
    abs(2.59664598-2.59645423)×2.80672894793776e-05×R²
    0.000191749999999935×2.80672894793776e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.80672894793776e-05×40589641000000     		ar = 32699.6703680671m²