Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29924 / 42973
↖ ↑ ↗
← S 48.796009°
W 15.622559°		 ← 402.39 m → S 48.796009°
W 15.617065°		 →
↑
402.33 m
↓
↑
402.33 m
↓
S 48.799627°
W 15.622559°		 ← 402.36 m →
161 889 m²		 S 48.799627°
W 15.617065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456611633300781 y=0.655723571777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456611633300781 × 216)
    floor (0.456611633300781 × 65536)
    floor (29924.5)     		tx = 29924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655723571777344 × 216)
    floor (0.655723571777344 × 65536)
    floor (42973.5)     		ty = 42973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29924 / 42973 ti = "16/29924/42973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29924/42973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29924 ÷ 216
    29924 ÷ 65536     		x = 0.45660400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42973 ÷ 216
    42973 ÷ 65536     		y = 0.655715942382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45660400390625 × 2 - 1) × π
    -0.0867919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27266509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655715942382812 × 2 - 1) × π
    -0.311431884765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.978392121245346
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27266509} λ = -0.27266509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.978392121245346))-π/2
    2×atan(0.375915038994779)-π/2
    2×0.359572654801799-π/2
    0.719145309603599-1.57079632675     		φ = -0.85165102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27266509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.622559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85165102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.796009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29924 KachelY 42973 -0.27266509 -0.85165102 -15.622559 -48.796009
    Oben rechts KachelX + 1 29925 KachelY 42973 -0.27256921 -0.85165102 -15.617065 -48.796009
    Unten links KachelX 29924 KachelY + 1 42974 -0.27266509 -0.85171417 -15.622559 -48.799627
    Unten rechts KachelX + 1 29925 KachelY + 1 42974 -0.27256921 -0.85171417 -15.617065 -48.799627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85165102--0.85171417) × R
    6.31500000000118e-05 × 6371000     		dl = 402.328650000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85165102--0.85171417) × R
    6.31500000000118e-05 × 6371000     		dr = 402.328650000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27266509--0.27256921) × cos(-0.85165102) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.658741867961057 × 6371000     		do = 402.393444981946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27266509--0.27256921) × cos(-0.85171417) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.658694354543587 × 6371000     		du = 402.364421340564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85165102)-sin(-0.85171417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658741867961057-0.658694354543587)×R²
    abs(-0.27256921--0.27266509)×4.75134174707792e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.75134174707792e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.75134174707792e-05×40589641000000     		ar = 161888.573020888m²