Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29923 / 29525
↖ ↑ ↗
← S 80.797585°
E148.743897°		 ← 195.36 m → S 80.797585°
E148.754883°		 →
↑
195.33 m
↓
↑
195.33 m
↓
S 80.799341°
E148.743897°		 ← 195.32 m →
38 157 m²		 S 80.799341°
E148.754883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913192749023438 y=0.901046752929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913192749023438 × 215)
    floor (0.913192749023438 × 32768)
    floor (29923.5)     		tx = 29923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901046752929688 × 215)
    floor (0.901046752929688 × 32768)
    floor (29525.5)     		ty = 29525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29923 / 29525 ti = "15/29923/29525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29923/29525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29923 ÷ 215
    29923 ÷ 32768     		x = 0.913177490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29525 ÷ 215
    29525 ÷ 32768     		y = 0.901031494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913177490234375 × 2 - 1) × π
    0.82635498046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59607074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901031494140625 × 2 - 1) × π
    -0.80206298828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.51975519162863
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59607074} λ = 2.59607074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51975519162863))-π/2
    2×atan(0.0804793063460364)-π/2
    2×0.0803062258241287-π/2
    0.160612451648257-1.57079632675     		φ = -1.41018388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59607074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.743897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41018388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.797585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29923 KachelY 29525 2.59607074 -1.41018388 148.743897 -80.797585
    Oben rechts KachelX + 1 29924 KachelY 29525 2.59626248 -1.41018388 148.754883 -80.797585
    Unten links KachelX 29923 KachelY + 1 29526 2.59607074 -1.41021454 148.743897 -80.799341
    Unten rechts KachelX + 1 29924 KachelY + 1 29526 2.59626248 -1.41021454 148.754883 -80.799341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41018388--1.41021454) × R
    3.06599999999602e-05 × 6371000     		dl = 195.334859999746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41018388--1.41021454) × R
    3.06599999999602e-05 × 6371000     		dr = 195.334859999746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59607074-2.59626248) × cos(-1.41018388) × R
    0.000191739999999996 × 0.159922800882568 × 6371000     		do = 195.357781846431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59607074-2.59626248) × cos(-1.41021454) × R
    0.000191739999999996 × 0.159892535416191 × 6371000     		du = 195.320810292998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41018388)-sin(-1.41021454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159922800882568-0.159892535416191)×R²
    abs(2.59626248-2.59607074)×3.02654663770496e-05×R²
    0.000191739999999996×3.02654663770496e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.02654663770496e-05×40589641000000     		ar = 38156.574053848m²