Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29922 / 29583
↖ ↑ ↗
← S 80.898931°
E148.732910°		 ← 193.23 m → S 80.898931°
E148.743897°		 →
↑
193.17 m
↓
↑
193.17 m
↓
S 80.900668°
E148.732910°		 ← 193.20 m →
37 323 m²		 S 80.900668°
E148.743897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29583 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913162231445312 y=0.902816772460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913162231445312 × 215)
    floor (0.913162231445312 × 32768)
    floor (29922.5)     		tx = 29922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902816772460938 × 215)
    floor (0.902816772460938 × 32768)
    floor (29583.5)     		ty = 29583
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29922 / 29583 ti = "15/29922/29583"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29922/29583.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29922 ÷ 215
    29922 ÷ 32768     		x = 0.91314697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29583 ÷ 215
    29583 ÷ 32768     		y = 0.902801513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91314697265625 × 2 - 1) × π
    0.8262939453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59587899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902801513671875 × 2 - 1) × π
    -0.80560302734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.53087655234048
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59587899} λ = 2.59587899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53087655234048))-π/2
    2×atan(0.0795892255790514)-π/2
    2×0.0794218102237835-π/2
    0.158843620447567-1.57079632675     		φ = -1.41195271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59587899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.732910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41195271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.898931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29922 KachelY 29583 2.59587899 -1.41195271 148.732910 -80.898931
    Oben rechts KachelX + 1 29923 KachelY 29583 2.59607074 -1.41195271 148.743897 -80.898931
    Unten links KachelX 29922 KachelY + 1 29584 2.59587899 -1.41198303 148.732910 -80.900668
    Unten rechts KachelX + 1 29923 KachelY + 1 29584 2.59607074 -1.41198303 148.743897 -80.900668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41195271--1.41198303) × R
    3.03200000000281e-05 × 6371000     		dl = 193.168720000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41195271--1.41198303) × R
    3.03200000000281e-05 × 6371000     		dr = 193.168720000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59587899-2.59607074) × cos(-1.41195271) × R
    0.000191749999999935 × 0.158176487296659 × 6371000     		do = 193.23460530866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59587899-2.59607074) × cos(-1.41198303) × R
    0.000191749999999935 × 0.158146548926799 × 6371000     		du = 193.198031420958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41195271)-sin(-1.41198303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158176487296659-0.158146548926799)×R²
    abs(2.59607074-2.59587899)×2.99383698602884e-05×R²
    0.000191749999999935×2.99383698602884e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.99383698602884e-05×40589641000000     		ar = 37323.3489046489m²