Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 29922 / 29570
↖ ↑ ↗
← S 80.876312°
E148.732910°		 ← 193.71 m → S 80.876312°
E148.743897°		 →
↑
193.68 m
↓
↑
193.68 m
↓
S 80.878054°
E148.732910°		 ← 193.67 m →
37 514 m²		 S 80.878054°
E148.743897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913162231445312 y=0.902420043945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913162231445312 × 215)
    floor (0.913162231445312 × 32768)
    floor (29922.5)     		tx = 29922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902420043945312 × 215)
    floor (0.902420043945312 × 32768)
    floor (29570.5)     		ty = 29570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29922 / 29570 ti = "15/29922/29570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29922/29570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29922 ÷ 215
    29922 ÷ 32768     		x = 0.91314697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29570 ÷ 215
    29570 ÷ 32768     		y = 0.90240478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91314697265625 × 2 - 1) × π
    0.8262939453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59587899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90240478515625 × 2 - 1) × π
    -0.8048095703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.52838383356024
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59587899} λ = 2.59587899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52838383356024))-π/2
    2×atan(0.0797878666116164)-π/2
    2×0.0796191977924696-π/2
    0.159238395584939-1.57079632675     		φ = -1.41155793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59587899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.732910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41155793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.876312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29922 KachelY 29570 2.59587899 -1.41155793 148.732910 -80.876312
    Oben rechts KachelX + 1 29923 KachelY 29570 2.59607074 -1.41155793 148.743897 -80.876312
    Unten links KachelX 29922 KachelY + 1 29571 2.59587899 -1.41158833 148.732910 -80.878054
    Unten rechts KachelX + 1 29923 KachelY + 1 29571 2.59607074 -1.41158833 148.743897 -80.878054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41155793--1.41158833) × R
    3.0399999999986e-05 × 6371000     		dl = 193.678399999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41155793--1.41158833) × R
    3.0399999999986e-05 × 6371000     		dr = 193.678399999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59587899-2.59607074) × cos(-1.41155793) × R
    0.000191749999999935 × 0.158566285018328 × 6371000     		do = 193.710797505011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59587899-2.59607074) × cos(-1.41158833) × R
    0.000191749999999935 × 0.1585362695557 × 6371000     		du = 193.674129437757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41155793)-sin(-1.41158833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158566285018328-0.1585362695557)×R²
    abs(2.59607074-2.59587899)×3.00154626285409e-05×R²
    0.000191749999999935×3.00154626285409e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.00154626285409e-05×40589641000000     		ar = 37514.0464196313m²