Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29922 / 20741
↖ ↑ ↗
← N 54.961848°
W 15.633545°		 ← 350.67 m → N 54.961848°
W 15.628052°		 →
↑
350.66 m
↓
↑
350.66 m
↓
N 54.958694°
W 15.633545°		 ← 350.69 m →
122 970 m²		 N 54.958694°
W 15.628052°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456581115722656 y=0.316490173339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456581115722656 × 216)
    floor (0.456581115722656 × 65536)
    floor (29922.5)     		tx = 29922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316490173339844 × 216)
    floor (0.316490173339844 × 65536)
    floor (20741.5)     		ty = 20741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29922 / 20741 ti = "16/29922/20741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29922/20741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29922 ÷ 216
    29922 ÷ 65536     		x = 0.456573486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20741 ÷ 216
    20741 ÷ 65536     		y = 0.316482543945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456573486328125 × 2 - 1) × π
    -0.08685302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27285683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316482543945312 × 2 - 1) × π
    0.367034912109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.15307418346083
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27285683} λ = -0.27285683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15307418346083))-π/2
    2×atan(3.16791671281824)-π/2
    2×1.265030769026-π/2
    2.530061538052-1.57079632675     		φ = 0.95926521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27285683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.633545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95926521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.961848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29922 KachelY 20741 -0.27285683 0.95926521 -15.633545 54.961848
    Oben rechts KachelX + 1 29923 KachelY 20741 -0.27276096 0.95926521 -15.628052 54.961848
    Unten links KachelX 29922 KachelY + 1 20742 -0.27285683 0.95921017 -15.633545 54.958694
    Unten rechts KachelX + 1 29923 KachelY + 1 20742 -0.27276096 0.95921017 -15.628052 54.958694
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95926521-0.95921017) × R
    5.50400000000062e-05 × 6371000     		dl = 350.659840000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95926521-0.95921017) × R
    5.50400000000062e-05 × 6371000     		dr = 350.659840000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27285683--0.27276096) × cos(0.95926521) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.574121764964363 × 6371000     		do = 350.66655253104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27285683--0.27276096) × cos(0.95921017) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.574166829191689 × 6371000     		du = 350.694077209955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95926521)-sin(0.95921017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574121764964363-0.574166829191689)×R²
    abs(-0.27276096--0.27285683)×4.50642273259749e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.50642273259749e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.50642273259749e-05×40589641000000     		ar = 122969.503134781m²