Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29922 / 13664
↖ ↑ ↗
← N 71.801410°
W 15.633545°		 ← 190.76 m → N 71.801410°
W 15.628052°		 →
↑
190.81 m
↓
↑
190.81 m
↓
N 71.799694°
W 15.633545°		 ← 190.77 m →
36 400 m²		 N 71.799694°
W 15.628052°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456581115722656 y=0.208503723144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456581115722656 × 216)
    floor (0.456581115722656 × 65536)
    floor (29922.5)     		tx = 29922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208503723144531 × 216)
    floor (0.208503723144531 × 65536)
    floor (13664.5)     		ty = 13664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29922 / 13664 ti = "16/29922/13664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29922/13664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29922 ÷ 216
    29922 ÷ 65536     		x = 0.456573486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13664 ÷ 216
    13664 ÷ 65536     		y = 0.20849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456573486328125 × 2 - 1) × π
    -0.08685302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27285683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20849609375 × 2 - 1) × π
    0.5830078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.83157306068311
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27285683} λ = -0.27285683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83157306068311))-π/2
    2×atan(6.24370065751441)-π/2
    2×1.4119836720564-π/2
    2.82396734411279-1.57079632675     		φ = 1.25317102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27285683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.633545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25317102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.801410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29922 KachelY 13664 -0.27285683 1.25317102 -15.633545 71.801410
    Oben rechts KachelX + 1 29923 KachelY 13664 -0.27276096 1.25317102 -15.628052 71.801410
    Unten links KachelX 29922 KachelY + 1 13665 -0.27285683 1.25314107 -15.633545 71.799694
    Unten rechts KachelX + 1 29923 KachelY + 1 13665 -0.27276096 1.25314107 -15.628052 71.799694
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25317102-1.25314107) × R
    2.99499999998343e-05 × 6371000     		dl = 190.811449998944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25317102-1.25314107) × R
    2.99499999998343e-05 × 6371000     		dr = 190.811449998944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27285683--0.27276096) × cos(1.25317102) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.312311532890939 × 6371000     		do = 190.756064719734m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27285683--0.27276096) × cos(1.25314107) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.312339984644076 × 6371000     		du = 190.773442702585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25317102)-sin(1.25314107))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312311532890939-0.312339984644076)×R²
    abs(-0.27276096--0.27285683)×2.84517531367046e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.84517531367046e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.84517531367046e-05×40589641000000     		ar = 36400.099267054m²