Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29921 / 42971
↖ ↑ ↗
← S 48.788771°
W 15.639038°		 ← 402.45 m → S 48.788771°
W 15.633545°		 →
↑
402.39 m
↓
↑
402.39 m
↓
S 48.792390°
W 15.639038°		 ← 402.42 m →
161 938 m²		 S 48.792390°
W 15.633545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456565856933594 y=0.655693054199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456565856933594 × 216)
    floor (0.456565856933594 × 65536)
    floor (29921.5)     		tx = 29921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655693054199219 × 216)
    floor (0.655693054199219 × 65536)
    floor (42971.5)     		ty = 42971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29921 / 42971 ti = "16/29921/42971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29921/42971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29921 ÷ 216
    29921 ÷ 65536     		x = 0.456558227539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42971 ÷ 216
    42971 ÷ 65536     		y = 0.655685424804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456558227539062 × 2 - 1) × π
    -0.086883544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27295271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655685424804688 × 2 - 1) × π
    -0.311370849609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.978200373646866
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27295271} λ = -0.27295271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.978200373646866))-π/2
    2×atan(0.375987126711841)-π/2
    2×0.359635815443258-π/2
    0.719271630886516-1.57079632675     		φ = -0.85152470
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27295271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.639038°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85152470 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.788771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29921 KachelY 42971 -0.27295271 -0.85152470 -15.639038 -48.788771
    Oben rechts KachelX + 1 29922 KachelY 42971 -0.27285683 -0.85152470 -15.633545 -48.788771
    Unten links KachelX 29921 KachelY + 1 42972 -0.27295271 -0.85158786 -15.639038 -48.792390
    Unten rechts KachelX + 1 29922 KachelY + 1 42972 -0.27285683 -0.85158786 -15.633545 -48.792390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85152470--0.85158786) × R
    6.3159999999951e-05 × 6371000     		dl = 402.392359999688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85152470--0.85158786) × R
    6.3159999999951e-05 × 6371000     		dr = 402.392359999688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27295271--0.27285683) × cos(-0.85152470) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.658836901960491 × 6371000     		do = 402.45149664115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27295271--0.27285683) × cos(-0.85158786) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.658789386274791 × 6371000     		du = 402.422471614217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85152470)-sin(-0.85158786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658836901960491-0.658789386274791)×R²
    abs(-0.27285683--0.27295271)×4.75156857002723e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.75156857002723e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.75156857002723e-05×40589641000000     		ar = 161937.567848238m²