Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29921 / 41404
↖ ↑ ↗
← S 42.795401°
W 15.639038°		 ← 448.23 m → S 42.795401°
W 15.633545°		 →
↑
448.14 m
↓
↑
448.14 m
↓
S 42.799431°
W 15.639038°		 ← 448.20 m →
200 863 m²		 S 42.799431°
W 15.633545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456565856933594 y=0.631782531738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456565856933594 × 216)
    floor (0.456565856933594 × 65536)
    floor (29921.5)     		tx = 29921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631782531738281 × 216)
    floor (0.631782531738281 × 65536)
    floor (41404.5)     		ty = 41404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29921 / 41404 ti = "16/29921/41404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29921/41404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29921 ÷ 216
    29921 ÷ 65536     		x = 0.456558227539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41404 ÷ 216
    41404 ÷ 65536     		y = 0.63177490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456558227539062 × 2 - 1) × π
    -0.086883544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27295271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63177490234375 × 2 - 1) × π
    -0.2635498046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.82796613023761
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27295271} λ = -0.27295271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.82796613023761))-π/2
    2×atan(0.436937056278101)-π/2
    2×0.411937840353315-π/2
    0.823875680706631-1.57079632675     		φ = -0.74692065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27295271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.639038°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74692065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.795401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29921 KachelY 41404 -0.27295271 -0.74692065 -15.639038 -42.795401
    Oben rechts KachelX + 1 29922 KachelY 41404 -0.27285683 -0.74692065 -15.633545 -42.795401
    Unten links KachelX 29921 KachelY + 1 41405 -0.27295271 -0.74699099 -15.639038 -42.799431
    Unten rechts KachelX + 1 29922 KachelY + 1 41405 -0.27285683 -0.74699099 -15.633545 -42.799431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74692065--0.74699099) × R
    7.03400000000576e-05 × 6371000     		dl = 448.136140000367m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74692065--0.74699099) × R
    7.03400000000576e-05 × 6371000     		dr = 448.136140000367m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27295271--0.27285683) × cos(-0.74692065) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.73378440079302 × 6371000     		do = 448.233287225295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27295271--0.27285683) × cos(-0.74699099) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.733736611219365 × 6371000     		du = 448.2040948935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74692065)-sin(-0.74699099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73378440079302-0.733736611219365)×R²
    abs(-0.27285683--0.27295271)×4.77895736546996e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.77895736546996e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.77895736546996e-05×40589641000000     		ar = 200862.994170088m²