Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 29921 / 29922
↖ ↑ ↗
← S 81.469521°
E148.721924°		 ← 181.21 m → S 81.469521°
E148.732910°		 →
↑
181.19 m
↓
↑
181.19 m
↓
S 81.471150°
E148.721924°		 ← 181.18 m →
32 831 m²		 S 81.471150°
E148.732910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913131713867188 y=0.913162231445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913131713867188 × 215)
    floor (0.913131713867188 × 32768)
    floor (29921.5)     		tx = 29921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.913162231445312 × 215)
    floor (0.913162231445312 × 32768)
    floor (29922.5)     		ty = 29922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29921 / 29922 ti = "15/29921/29922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29921/29922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29921 ÷ 215
    29921 ÷ 32768     		x = 0.913116455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29922 ÷ 215
    29922 ÷ 32768     		y = 0.91314697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913116455078125 × 2 - 1) × π
    0.82623291015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59568724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91314697265625 × 2 - 1) × π
    -0.8262939453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.59587898822528
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59568724} λ = 2.59568724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59587898822528))-π/2
    2×atan(0.0745802920563129)-π/2
    2×0.0744424743783281-π/2
    0.148884948756656-1.57079632675     		φ = -1.42191138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59568724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.721924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42191138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.469521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29921 KachelY 29922 2.59568724 -1.42191138 148.721924 -81.469521
    Oben rechts KachelX + 1 29922 KachelY 29922 2.59587899 -1.42191138 148.732910 -81.469521
    Unten links KachelX 29921 KachelY + 1 29923 2.59568724 -1.42193982 148.721924 -81.471150
    Unten rechts KachelX + 1 29922 KachelY + 1 29923 2.59587899 -1.42193982 148.732910 -81.471150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42191138--1.42193982) × R
    2.84399999999074e-05 × 6371000     		dl = 181.19123999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42191138--1.42193982) × R
    2.84399999999074e-05 × 6371000     		dr = 181.19123999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59568724-2.59587899) × cos(-1.42191138) × R
    0.000191749999999935 × 0.148335507441037 × 6371000     		do = 181.212478058577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59568724-2.59587899) × cos(-1.42193982) × R
    0.000191749999999935 × 0.148307382010079 × 6371000     		du = 181.178118928195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42191138)-sin(-1.42193982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148335507441037-0.148307382010079)×R²
    abs(2.59587899-2.59568724)×2.8125430958148e-05×R²
    0.000191749999999935×2.8125430958148e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.8125430958148e-05×40589641000000     		ar = 32831.0008180447m²