Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29920 / 42529
↖ ↑ ↗
← S 47.163575°
W 15.644531°		 ← 415.28 m → S 47.163575°
W 15.639038°		 →
↑
415.26 m
↓
↑
415.26 m
↓
S 47.167309°
W 15.644531°		 ← 415.25 m →
172 444 m²		 S 47.167309°
W 15.639038°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456550598144531 y=0.648948669433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456550598144531 × 216)
    floor (0.456550598144531 × 65536)
    floor (29920.5)     		tx = 29920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648948669433594 × 216)
    floor (0.648948669433594 × 65536)
    floor (42529.5)     		ty = 42529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29920 / 42529 ti = "16/29920/42529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29920/42529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29920 ÷ 216
    29920 ÷ 65536     		x = 0.45654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42529 ÷ 216
    42529 ÷ 65536     		y = 0.648941040039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45654296875 × 2 - 1) × π
    -0.0869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27304858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648941040039062 × 2 - 1) × π
    -0.297882080078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.935824154382736
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27304858} λ = -0.27304858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.935824154382736))-π/2
    2×atan(0.392262447461357)-π/2
    2×0.37381832812654-π/2
    0.74763665625308-1.57079632675     		φ = -0.82315967
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27304858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.644531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82315967 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.163575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29920 KachelY 42529 -0.27304858 -0.82315967 -15.644531 -47.163575
    Oben rechts KachelX + 1 29921 KachelY 42529 -0.27295271 -0.82315967 -15.639038 -47.163575
    Unten links KachelX 29920 KachelY + 1 42530 -0.27304858 -0.82322485 -15.644531 -47.167309
    Unten rechts KachelX + 1 29921 KachelY + 1 42530 -0.27295271 -0.82322485 -15.639038 -47.167309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82315967--0.82322485) × R
    6.5179999999998e-05 × 6371000     		dl = 415.261779999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82315967--0.82322485) × R
    6.5179999999998e-05 × 6371000     		dr = 415.261779999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27304858--0.27295271) × cos(-0.82315967) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.679907626107923 × 6371000     		do = 415.279262756443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27304858--0.27295271) × cos(-0.82322485) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.679859828315016 × 6371000     		du = 415.250068449103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82315967)-sin(-0.82322485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679907626107923-0.679859828315016)×R²
    abs(-0.27295271--0.27304858)×4.77977929065343e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77977929065343e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77977929065343e-05×40589641000000     		ar = 172443.544270479m²