Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29920 / 13663
↖ ↑ ↗
← N 71.803126°
W 15.644531°		 ← 190.74 m → N 71.803126°
W 15.639038°		 →
↑
190.75 m
↓
↑
190.75 m
↓
N 71.801410°
W 15.644531°		 ← 190.76 m →
36 385 m²		 N 71.801410°
W 15.639038°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456550598144531 y=0.208488464355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456550598144531 × 216)
    floor (0.456550598144531 × 65536)
    floor (29920.5)     		tx = 29920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208488464355469 × 216)
    floor (0.208488464355469 × 65536)
    floor (13663.5)     		ty = 13663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29920 / 13663 ti = "16/29920/13663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29920/13663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29920 ÷ 216
    29920 ÷ 65536     		x = 0.45654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13663 ÷ 216
    13663 ÷ 65536     		y = 0.208480834960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45654296875 × 2 - 1) × π
    -0.0869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27304858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208480834960938 × 2 - 1) × π
    0.583038330078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.83166893448235
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27304858} λ = -0.27304858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83166893448235))-π/2
    2×atan(6.24429929351406)-π/2
    2×1.41199864262136-π/2
    2.82399728524272-1.57079632675     		φ = 1.25320096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27304858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.644531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25320096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.803126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29920 KachelY 13663 -0.27304858 1.25320096 -15.644531 71.803126
    Oben rechts KachelX + 1 29921 KachelY 13663 -0.27295271 1.25320096 -15.639038 71.803126
    Unten links KachelX 29920 KachelY + 1 13664 -0.27304858 1.25317102 -15.644531 71.801410
    Unten rechts KachelX + 1 29921 KachelY + 1 13664 -0.27295271 1.25317102 -15.639038 71.801410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25320096-1.25317102) × R
    2.99400000001171e-05 × 6371000     		dl = 190.747740000746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25320096-1.25317102) × R
    2.99400000001171e-05 × 6371000     		dr = 190.747740000746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27304858--0.27295271) × cos(1.25320096) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.312283090357549 × 6371000     		do = 190.738692368192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27304858--0.27295271) × cos(1.25317102) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.312311532890939 × 6371000     		du = 190.756064719734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25320096)-sin(1.25317102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312283090357549-0.312311532890939)×R²
    abs(-0.27295271--0.27304858)×2.84425333902383e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.84425333902383e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.84425333902383e-05×40589641000000     		ar = 36384.6313712813m²