Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2992 / 3440
↖ ↑ ↗
← N 27.683528°
W 48.515625°		 ← 4 327.12 m → N 27.683528°
W 48.471679°		 →
↑
4 327.88 m
↓
↑
4 327.88 m
↓
N 27.644606°
W 48.515625°		 ← 4 328.66 m →
18 730 622 m²		 N 27.644606°
W 48.471679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.36529541015625 y=0.41998291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.36529541015625 × 213)
    floor (0.36529541015625 × 8192)
    floor (2992.5)     		tx = 2992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.41998291015625 × 213)
    floor (0.41998291015625 × 8192)
    floor (3440.5)     		ty = 3440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2992 / 3440 ti = "13/2992/3440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2992/3440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2992 ÷ 213
    2992 ÷ 8192     		x = 0.365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3440 ÷ 213
    3440 ÷ 8192     		y = 0.419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365234375 × 2 - 1) × π
    -0.26953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.84675739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419921875 × 2 - 1) × π
    0.16015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.503145698412109
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84675739} λ = -0.84675739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.503145698412109))-π/2
    2×atan(1.65391581653716)-π/2
    2×1.02698252020629-π/2
    2.05396504041258-1.57079632675     		φ = 0.48316871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84675739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.515625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48316871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.683528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2992 KachelY 3440 -0.84675739 0.48316871 -48.515625 27.683528
    Oben rechts KachelX + 1 2993 KachelY 3440 -0.84599040 0.48316871 -48.471679 27.683528
    Unten links KachelX 2992 KachelY + 1 3441 -0.84675739 0.48248940 -48.515625 27.644606
    Unten rechts KachelX + 1 2993 KachelY + 1 3441 -0.84599040 0.48248940 -48.471679 27.644606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48316871-0.48248940) × R
    0.000679309999999989 × 6371000     		dl = 4327.88400999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48316871-0.48248940) × R
    0.000679309999999989 × 6371000     		dr = 4327.88400999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84675739--0.84599040) × cos(0.48316871) × R
    0.000766990000000023 × 0.885527227905161 × 6371000     		do = 4327.122857271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84675739--0.84599040) × cos(0.48248940) × R
    0.000766990000000023 × 0.885842622484829 × 6371000     		du = 4328.66403076825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48316871)-sin(0.48248940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885527227905161-0.885842622484829)×R²
    abs(-0.84599040--0.84675739)×0.000315394579667561×R²
    0.000766990000000023×0.000315394579667561×6371000²
    0.000766990000000023×0.000315394579667561×40589641000000     		ar = 18730621.5536453m²