Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29919 / 29928
↖ ↑ ↗
← S 81.479293°
E148.699951°		 ← 181 m → S 81.479293°
E148.710937°		 →
↑
181 m
↓
↑
181 m
↓
S 81.480921°
E148.699951°		 ← 180.96 m →
32 757 m²		 S 81.480921°
E148.710937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913070678710938 y=0.913345336914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913070678710938 × 215)
    floor (0.913070678710938 × 32768)
    floor (29919.5)     		tx = 29919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.913345336914062 × 215)
    floor (0.913345336914062 × 32768)
    floor (29928.5)     		ty = 29928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29919 / 29928 ti = "15/29919/29928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29919/29928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29919 ÷ 215
    29919 ÷ 32768     		x = 0.913055419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29928 ÷ 215
    29928 ÷ 32768     		y = 0.913330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913055419921875 × 2 - 1) × π
    0.82611083984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59530375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.913330078125 × 2 - 1) × π
    -0.82666015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.59702947381616
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59530375} λ = 2.59530375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59702947381616))-π/2
    2×atan(0.07449453784389)-π/2
    2×0.0743571939690907-π/2
    0.148714387938181-1.57079632675     		φ = -1.42208194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59530375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.699951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42208194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.479293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29919 KachelY 29928 2.59530375 -1.42208194 148.699951 -81.479293
    Oben rechts KachelX + 1 29920 KachelY 29928 2.59549549 -1.42208194 148.710937 -81.479293
    Unten links KachelX 29919 KachelY + 1 29929 2.59530375 -1.42211035 148.699951 -81.480921
    Unten rechts KachelX + 1 29920 KachelY + 1 29929 2.59549549 -1.42211035 148.710937 -81.480921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42208194--1.42211035) × R
    2.84100000000898e-05 × 6371000     		dl = 181.000110000572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42208194--1.42211035) × R
    2.84100000000898e-05 × 6371000     		dr = 181.000110000572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59530375-2.59549549) × cos(-1.42208194) × R
    0.000191739999999996 × 0.148166832173394 × 6371000     		do = 180.996978022299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59530375-2.59549549) × cos(-1.42211035) × R
    0.000191739999999996 × 0.148138735692376 × 6371000     		du = 180.962656048327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42208194)-sin(-1.42211035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148166832173394-0.148138735692376)×R²
    abs(2.59549549-2.59530375)×2.80964810182305e-05×R²
    0.000191739999999996×2.80964810182305e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.80964810182305e-05×40589641000000     		ar = 32757.3667935495m²