Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 29919 / 29926
↖ ↑ ↗
← S 81.476037°
E148.699951°		 ← 181.07 m → S 81.476037°
E148.710937°		 →
↑
181.06 m
↓
↑
181.06 m
↓
S 81.477666°
E148.699951°		 ← 181.03 m →
32 781 m²		 S 81.477666°
E148.710937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913070678710938 y=0.913284301757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913070678710938 × 215)
    floor (0.913070678710938 × 32768)
    floor (29919.5)     		tx = 29919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.913284301757812 × 215)
    floor (0.913284301757812 × 32768)
    floor (29926.5)     		ty = 29926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29919 / 29926 ti = "15/29919/29926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29919/29926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29919 ÷ 215
    29919 ÷ 32768     		x = 0.913055419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29926 ÷ 215
    29926 ÷ 32768     		y = 0.91326904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913055419921875 × 2 - 1) × π
    0.82611083984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59530375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91326904296875 × 2 - 1) × π
    -0.8265380859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.5966459786192
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59530375} λ = 2.59530375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5966459786192))-π/2
    2×atan(0.0745231116199557)-π/2
    2×0.0743856099917586-π/2
    0.148771219983517-1.57079632675     		φ = -1.42202511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59530375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.699951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42202511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.476037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29919 KachelY 29926 2.59530375 -1.42202511 148.699951 -81.476037
    Oben rechts KachelX + 1 29920 KachelY 29926 2.59549549 -1.42202511 148.710937 -81.476037
    Unten links KachelX 29919 KachelY + 1 29927 2.59530375 -1.42205353 148.699951 -81.477666
    Unten rechts KachelX + 1 29920 KachelY + 1 29927 2.59549549 -1.42205353 148.710937 -81.477666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42202511--1.42205353) × R
    2.84199999998069e-05 × 6371000     		dl = 181.06381999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42202511--1.42205353) × R
    2.84199999998069e-05 × 6371000     		dr = 181.06381999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59530375-2.59549549) × cos(-1.42202511) × R
    0.000191739999999996 × 0.148223034666178 × 6371000     		do = 181.065633612771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59530375-2.59549549) × cos(-1.42205353) × R
    0.000191739999999996 × 0.148194928534822 × 6371000     		du = 181.031299850183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42202511)-sin(-1.42205353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148223034666178-0.148194928534822)×R²
    abs(2.59549549-2.59530375)×2.81061313556485e-05×R²
    0.000191739999999996×2.81061313556485e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.81061313556485e-05×40589641000000     		ar = 32781.326993858m²