Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 29919 / 29537
↖ ↑ ↗
← S 80.818644°
E148.699951°		 ← 194.91 m → S 80.818644°
E148.710937°		 →
↑
194.89 m
↓
↑
194.89 m
↓
S 80.820397°
E148.699951°		 ← 194.88 m →
37 983 m²		 S 80.820397°
E148.710937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913070678710938 y=0.901412963867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913070678710938 × 215)
    floor (0.913070678710938 × 32768)
    floor (29919.5)     		tx = 29919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901412963867188 × 215)
    floor (0.901412963867188 × 32768)
    floor (29537.5)     		ty = 29537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29919 / 29537 ti = "15/29919/29537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29919/29537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29919 ÷ 215
    29919 ÷ 32768     		x = 0.913055419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29537 ÷ 215
    29537 ÷ 32768     		y = 0.901397705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913055419921875 × 2 - 1) × π
    0.82611083984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59530375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901397705078125 × 2 - 1) × π
    -0.80279541015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.52205616281039
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59530375} λ = 2.59530375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52205616281039))-π/2
    2×atan(0.0802943386656658)-π/2
    2×0.080122445738758-π/2
    0.160244891477516-1.57079632675     		φ = -1.41055144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59530375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.699951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41055144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.818644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29919 KachelY 29537 2.59530375 -1.41055144 148.699951 -80.818644
    Oben rechts KachelX + 1 29920 KachelY 29537 2.59549549 -1.41055144 148.710937 -80.818644
    Unten links KachelX 29919 KachelY + 1 29538 2.59530375 -1.41058203 148.699951 -80.820397
    Unten rechts KachelX + 1 29920 KachelY + 1 29538 2.59549549 -1.41058203 148.710937 -80.820397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41055144--1.41058203) × R
    3.05899999999415e-05 × 6371000     		dl = 194.888889999627m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41055144--1.41058203) × R
    3.05899999999415e-05 × 6371000     		dr = 194.888889999627m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59530375-2.59549549) × cos(-1.41055144) × R
    0.000191739999999996 × 0.15955996075997 × 6371000     		do = 194.914545227735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59530375-2.59549549) × cos(-1.41058203) × R
    0.000191739999999996 × 0.159529762597094 × 6371000     		du = 194.877655890613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41055144)-sin(-1.41058203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15955996075997-0.159529762597094)×R²
    abs(2.59549549-2.59530375)×3.01981628756109e-05×R²
    0.000191739999999996×3.01981628756109e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.01981628756109e-05×40589641000000     		ar = 37983.0847065961m²