Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29919 / 13666
↖ ↑ ↗
← N 71.797979°
W 15.650024°		 ← 190.79 m → N 71.797979°
W 15.644531°		 →
↑
190.81 m
↓
↑
190.81 m
↓
N 71.796263°
W 15.650024°		 ← 190.81 m →
36 407 m²		 N 71.796263°
W 15.644531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456535339355469 y=0.208534240722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456535339355469 × 216)
    floor (0.456535339355469 × 65536)
    floor (29919.5)     		tx = 29919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208534240722656 × 216)
    floor (0.208534240722656 × 65536)
    floor (13666.5)     		ty = 13666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29919 / 13666 ti = "16/29919/13666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29919/13666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29919 ÷ 216
    29919 ÷ 65536     		x = 0.456527709960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13666 ÷ 216
    13666 ÷ 65536     		y = 0.208526611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456527709960938 × 2 - 1) × π
    -0.086944580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27314445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208526611328125 × 2 - 1) × π
    0.58294677734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.83138131308463
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27314445} λ = -0.27314445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83138131308463))-π/2
    2×atan(6.24250355768188)-π/2
    2×1.41195372683569-π/2
    2.82390745367138-1.57079632675     		φ = 1.25311113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27314445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.650024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25311113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.797979°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29919 KachelY 13666 -0.27314445 1.25311113 -15.650024 71.797979
    Oben rechts KachelX + 1 29920 KachelY 13666 -0.27304858 1.25311113 -15.644531 71.797979
    Unten links KachelX 29919 KachelY + 1 13667 -0.27314445 1.25308118 -15.650024 71.796263
    Unten rechts KachelX + 1 29920 KachelY + 1 13667 -0.27304858 1.25308118 -15.644531 71.796263
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25311113-1.25308118) × R
    2.99500000000563e-05 × 6371000     		dl = 190.811450000359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25311113-1.25308118) × R
    2.99500000000563e-05 × 6371000     		dr = 190.811450000359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27314445--0.27304858) × cos(1.25311113) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.312368426617433 × 6371000     		do = 190.790814712066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27314445--0.27304858) × cos(1.25308118) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.312396877810298 × 6371000     		du = 190.80819235271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25311113)-sin(1.25308118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312368426617433-0.312396877810298)×R²
    abs(-0.27304858--0.27314445)×2.84511928654307e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.84511928654307e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.84511928654307e-05×40589641000000     		ar = 36406.7299313921m²