Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29918 / 29598
↖ ↑ ↗
← S 80.924961°
E148.688965°		 ← 192.69 m → S 80.924961°
E148.699951°		 →
↑
192.66 m
↓
↑
192.66 m
↓
S 80.926693°
E148.688965°		 ← 192.65 m →
37 119 m²		 S 80.926693°
E148.699951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29918 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913040161132812 y=0.903274536132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913040161132812 × 215)
    floor (0.913040161132812 × 32768)
    floor (29918.5)     		tx = 29918
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903274536132812 × 215)
    floor (0.903274536132812 × 32768)
    floor (29598.5)     		ty = 29598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29918 / 29598 ti = "15/29918/29598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29918/29598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29918 ÷ 215
    29918 ÷ 32768     		x = 0.91302490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29598 ÷ 215
    29598 ÷ 32768     		y = 0.90325927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91302490234375 × 2 - 1) × π
    0.8260498046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59511200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90325927734375 × 2 - 1) × π
    -0.8065185546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.53375276631769
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59511200} λ = 2.59511200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53375276631769))-π/2
    2×atan(0.0793606388257975)-π/2
    2×0.0791946582236873-π/2
    0.158389316447375-1.57079632675     		φ = -1.41240701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59511200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.688965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41240701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.924961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29918 KachelY 29598 2.59511200 -1.41240701 148.688965 -80.924961
    Oben rechts KachelX + 1 29919 KachelY 29598 2.59530375 -1.41240701 148.699951 -80.924961
    Unten links KachelX 29918 KachelY + 1 29599 2.59511200 -1.41243725 148.688965 -80.926693
    Unten rechts KachelX + 1 29919 KachelY + 1 29599 2.59530375 -1.41243725 148.699951 -80.926693
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41240701--1.41243725) × R
    3.02400000000702e-05 × 6371000     		dl = 192.659040000447m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41240701--1.41243725) × R
    3.02400000000702e-05 × 6371000     		dr = 192.659040000447m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59511200-2.59530375) × cos(-1.41240701) × R
    0.000191749999999935 × 0.157727890237232 × 6371000     		do = 192.68658153343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59511200-2.59530375) × cos(-1.41243725) × R
    0.000191749999999935 × 0.157698028690877 × 6371000     		du = 192.650101496336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41240701)-sin(-1.41243725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157727890237232-0.157698028690877)×R²
    abs(2.59530375-2.59511200)×2.98615463558416e-05×R²
    0.000191749999999935×2.98615463558416e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.98615463558416e-05×40589641000000     		ar = 37119.2977175387m²