Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29917 / 29918
↖ ↑ ↗
← S 81.463000°
E148.677979°		 ← 181.35 m → S 81.463000°
E148.688965°		 →
↑
181.32 m
↓
↑
181.32 m
↓
S 81.464630°
E148.677979°		 ← 181.32 m →
32 879 m²		 S 81.464630°
E148.688965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913009643554688 y=0.913040161132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913009643554688 × 215)
    floor (0.913009643554688 × 32768)
    floor (29917.5)     		tx = 29917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.913040161132812 × 215)
    floor (0.913040161132812 × 32768)
    floor (29918.5)     		ty = 29918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29917 / 29918 ti = "15/29917/29918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29917/29918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29917 ÷ 215
    29917 ÷ 32768     		x = 0.912994384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29918 ÷ 215
    29918 ÷ 32768     		y = 0.91302490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912994384765625 × 2 - 1) × π
    0.82598876953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59492025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91302490234375 × 2 - 1) × π
    -0.8260498046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.59511199783136
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59492025} λ = 2.59492025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59511199783136))-π/2
    2×atan(0.0746375163663386)-π/2
    2×0.0744993819131952-π/2
    0.14899876382639-1.57079632675     		φ = -1.42179756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59492025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.677979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42179756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.463000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29917 KachelY 29918 2.59492025 -1.42179756 148.677979 -81.463000
    Oben rechts KachelX + 1 29918 KachelY 29918 2.59511200 -1.42179756 148.688965 -81.463000
    Unten links KachelX 29917 KachelY + 1 29919 2.59492025 -1.42182602 148.677979 -81.464630
    Unten rechts KachelX + 1 29918 KachelY + 1 29919 2.59511200 -1.42182602 148.688965 -81.464630
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42179756--1.42182602) × R
    2.84600000000079e-05 × 6371000     		dl = 181.31866000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42179756--1.42182602) × R
    2.84600000000079e-05 × 6371000     		dr = 181.31866000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59492025-2.59511200) × cos(-1.42179756) × R
    0.000191749999999935 × 0.148448067300068 × 6371000     		do = 181.349985600343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59492025-2.59511200) × cos(-1.42182602) × R
    0.000191749999999935 × 0.148419922570926 × 6371000     		du = 181.315602894543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42179756)-sin(-1.42182602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148448067300068-0.148419922570926)×R²
    abs(2.59511200-2.59492025)×2.814472914206e-05×R²
    0.000191749999999935×2.814472914206e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.814472914206e-05×40589641000000     		ar = 32879.0192693759m²