Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29916 / 29558
↖ ↑ ↗
← S 80.855384°
E148.666992°		 ← 194.15 m → S 80.855384°
E148.677979°		 →
↑
194.12 m
↓
↑
194.12 m
↓
S 80.857129°
E148.666992°		 ← 194.11 m →
37 686 m²		 S 80.857129°
E148.677979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912979125976562 y=0.902053833007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912979125976562 × 215)
    floor (0.912979125976562 × 32768)
    floor (29916.5)     		tx = 29916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902053833007812 × 215)
    floor (0.902053833007812 × 32768)
    floor (29558.5)     		ty = 29558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29916 / 29558 ti = "15/29916/29558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29916/29558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29916 ÷ 215
    29916 ÷ 32768     		x = 0.9129638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29558 ÷ 215
    29558 ÷ 32768     		y = 0.90203857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9129638671875 × 2 - 1) × π
    0.825927734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59472850
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90203857421875 × 2 - 1) × π
    -0.8040771484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.52608286237848
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59472850} λ = 2.59472850}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52608286237848))-π/2
    2×atan(0.0799716675726072)-π/2
    2×0.0798018333958669-π/2
    0.159603666791734-1.57079632675     		φ = -1.41119266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59472850} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.666992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41119266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.855384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29916 KachelY 29558 2.59472850 -1.41119266 148.666992 -80.855384
    Oben rechts KachelX + 1 29917 KachelY 29558 2.59492025 -1.41119266 148.677979 -80.855384
    Unten links KachelX 29916 KachelY + 1 29559 2.59472850 -1.41122313 148.666992 -80.857129
    Unten rechts KachelX + 1 29917 KachelY + 1 29559 2.59492025 -1.41122313 148.677979 -80.857129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41119266--1.41122313) × R
    3.04700000000047e-05 × 6371000     		dl = 194.12437000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41119266--1.41122313) × R
    3.04700000000047e-05 × 6371000     		dr = 194.12437000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59472850-2.59492025) × cos(-1.41119266) × R
    0.000191749999999935 × 0.158926923158251 × 6371000     		do = 194.151367211788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59472850-2.59492025) × cos(-1.41122313) × R
    0.000191749999999935 × 0.158896840347548 × 6371000     		du = 194.114616869483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41119266)-sin(-1.41122313))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158926923158251-0.158896840347548)×R²
    abs(2.59492025-2.59472850)×3.00828107028528e-05×R²
    0.000191749999999935×3.00828107028528e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.00828107028528e-05×40589641000000     		ar = 37685.9447788801m²