Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29916 / 19804
↖ ↑ ↗
← N 57.809652°
W 15.666504°		 ← 325.42 m → N 57.809652°
W 15.661011°		 →
↑
325.43 m
↓
↑
325.43 m
↓
N 57.806725°
W 15.666504°		 ← 325.45 m →
105 906 m²		 N 57.806725°
W 15.661011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456489562988281 y=0.302192687988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456489562988281 × 216)
    floor (0.456489562988281 × 65536)
    floor (29916.5)     		tx = 29916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302192687988281 × 216)
    floor (0.302192687988281 × 65536)
    floor (19804.5)     		ty = 19804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29916 / 19804 ti = "16/29916/19804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29916/19804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29916 ÷ 216
    29916 ÷ 65536     		x = 0.45648193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19804 ÷ 216
    19804 ÷ 65536     		y = 0.30218505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45648193359375 × 2 - 1) × π
    -0.0870361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27343208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30218505859375 × 2 - 1) × π
    0.3956298828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.24290793334882
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27343208} λ = -0.27343208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24290793334882))-π/2
    2×atan(3.46567678303553)-π/2
    2×1.28988254121639-π/2
    2.57976508243278-1.57079632675     		φ = 1.00896876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27343208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.666504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00896876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.809652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29916 KachelY 19804 -0.27343208 1.00896876 -15.666504 57.809652
    Oben rechts KachelX + 1 29917 KachelY 19804 -0.27333620 1.00896876 -15.661011 57.809652
    Unten links KachelX 29916 KachelY + 1 19805 -0.27343208 1.00891768 -15.666504 57.806725
    Unten rechts KachelX + 1 29917 KachelY + 1 19805 -0.27333620 1.00891768 -15.661011 57.806725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00896876-1.00891768) × R
    5.10799999999811e-05 × 6371000     		dl = 325.43067999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00896876-1.00891768) × R
    5.10799999999811e-05 × 6371000     		dr = 325.43067999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27343208--0.27333620) × cos(1.00896876) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.53273372528582 × 6371000     		do = 325.42118453692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27343208--0.27333620) × cos(1.00891768) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.532776952722276 × 6371000     		du = 325.447590080456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00896876)-sin(1.00891768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.53273372528582-0.532776952722276)×R²
    abs(-0.27333620--0.27343208)×4.32274364565721e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.32274364565721e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.32274364565721e-05×40589641000000     		ar = 105906.333980297m²