Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29915 / 29634
↖ ↑ ↗
← S 80.987131°
E148.656006°		 ← 191.37 m → S 80.987131°
E148.666992°		 →
↑
191.38 m
↓
↑
191.38 m
↓
S 80.988852°
E148.656006°		 ← 191.33 m →
36 621 m²		 S 80.988852°
E148.666992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912948608398438 y=0.904373168945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912948608398438 × 215)
    floor (0.912948608398438 × 32768)
    floor (29915.5)     		tx = 29915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904373168945312 × 215)
    floor (0.904373168945312 × 32768)
    floor (29634.5)     		ty = 29634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29915 / 29634 ti = "15/29915/29634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29915/29634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29915 ÷ 215
    29915 ÷ 32768     		x = 0.912933349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29634 ÷ 215
    29634 ÷ 32768     		y = 0.90435791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912933349609375 × 2 - 1) × π
    0.82586669921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59453676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90435791015625 × 2 - 1) × π
    -0.8087158203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.54065567986298
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59453676} λ = 2.59453676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54065567986298))-π/2
    2×atan(0.078814705629729)-π/2
    2×0.0786521185504045-π/2
    0.157304237100809-1.57079632675     		φ = -1.41349209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59453676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.656006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41349209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.987131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29915 KachelY 29634 2.59453676 -1.41349209 148.656006 -80.987131
    Oben rechts KachelX + 1 29916 KachelY 29634 2.59472850 -1.41349209 148.666992 -80.987131
    Unten links KachelX 29915 KachelY + 1 29635 2.59453676 -1.41352213 148.656006 -80.988852
    Unten rechts KachelX + 1 29916 KachelY + 1 29635 2.59472850 -1.41352213 148.666992 -80.988852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41349209--1.41352213) × R
    3.00399999999534e-05 × 6371000     		dl = 191.384839999703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41349209--1.41352213) × R
    3.00399999999534e-05 × 6371000     		dr = 191.384839999703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59453676-2.59472850) × cos(-1.41349209) × R
    0.000191739999999996 × 0.156656299958577 × 6371000     		do = 191.367504216297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59453676-2.59472850) × cos(-1.41352213) × R
    0.000191739999999996 × 0.156626630786375 × 6371000     		du = 191.331261081243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41349209)-sin(-1.41352213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156656299958577-0.156626630786375)×R²
    abs(2.59472850-2.59453676)×2.96691722018738e-05×R²
    0.000191739999999996×2.96691722018738e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.96691722018738e-05×40589641000000     		ar = 36621.3709844576m²