Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29915 / 29603
↖ ↑ ↗
← S 80.933621°
E148.656006°		 ← 192.49 m → S 80.933621°
E148.666992°		 →
↑
192.47 m
↓
↑
192.47 m
↓
S 80.935352°
E148.656006°		 ← 192.46 m →
37 045 m²		 S 80.935352°
E148.666992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912948608398438 y=0.903427124023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912948608398438 × 215)
    floor (0.912948608398438 × 32768)
    floor (29915.5)     		tx = 29915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903427124023438 × 215)
    floor (0.903427124023438 × 32768)
    floor (29603.5)     		ty = 29603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29915 / 29603 ti = "15/29915/29603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29915/29603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29915 ÷ 215
    29915 ÷ 32768     		x = 0.912933349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29603 ÷ 215
    29603 ÷ 32768     		y = 0.903411865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912933349609375 × 2 - 1) × π
    0.82586669921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59453676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903411865234375 × 2 - 1) × π
    -0.80682373046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.53471150431009
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59453676} λ = 2.59453676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53471150431009))-π/2
    2×atan(0.0792845892278987)-π/2
    2×0.0791190841437614-π/2
    0.158238168287523-1.57079632675     		φ = -1.41255816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59453676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.656006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41255816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.933621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29915 KachelY 29603 2.59453676 -1.41255816 148.656006 -80.933621
    Oben rechts KachelX + 1 29916 KachelY 29603 2.59472850 -1.41255816 148.666992 -80.933621
    Unten links KachelX 29915 KachelY + 1 29604 2.59453676 -1.41258837 148.656006 -80.935352
    Unten rechts KachelX + 1 29916 KachelY + 1 29604 2.59472850 -1.41258837 148.666992 -80.935352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41255816--1.41258837) × R
    3.02100000000305e-05 × 6371000     		dl = 192.467910000194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41255816--1.41258837) × R
    3.02100000000305e-05 × 6371000     		dr = 192.467910000194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59453676-2.59472850) × cos(-1.41255816) × R
    0.000191739999999996 × 0.157578630438967 × 6371000     		do = 192.494200570938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59453676-2.59472850) × cos(-1.41258837) × R
    0.000191739999999996 × 0.157548797797418 × 6371000     		du = 192.457757745728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41255816)-sin(-1.41258837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157578630438967-0.157548797797418)×R²
    abs(2.59472850-2.59453676)×2.98326415491268e-05×R²
    0.000191739999999996×2.98326415491268e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.98326415491268e-05×40589641000000     		ar = 37045.4494366178m²