Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29915 / 15159
↖ ↑ ↗
← N 69.054822°
W 15.671997°		 ← 218.34 m → N 69.054822°
W 15.666504°		 →
↑
218.40 m
↓
↑
218.40 m
↓
N 69.052858°
W 15.671997°		 ← 218.36 m →
47 687 m²		 N 69.052858°
W 15.666504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456474304199219 y=0.231315612792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456474304199219 × 216)
    floor (0.456474304199219 × 65536)
    floor (29915.5)     		tx = 29915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231315612792969 × 216)
    floor (0.231315612792969 × 65536)
    floor (15159.5)     		ty = 15159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29915 / 15159 ti = "16/29915/15159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29915/15159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29915 ÷ 216
    29915 ÷ 65536     		x = 0.456466674804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15159 ÷ 216
    15159 ÷ 65536     		y = 0.231307983398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456466674804688 × 2 - 1) × π
    -0.087066650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27352795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231307983398438 × 2 - 1) × π
    0.537384033203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.68824173081914
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27352795} λ = -0.27352795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68824173081914))-π/2
    2×atan(5.40996017151425)-π/2
    2×1.38801516605104-π/2
    2.77603033210209-1.57079632675     		φ = 1.20523401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27352795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.671997°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20523401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.054822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29915 KachelY 15159 -0.27352795 1.20523401 -15.671997 69.054822
    Oben rechts KachelX + 1 29916 KachelY 15159 -0.27343208 1.20523401 -15.666504 69.054822
    Unten links KachelX 29915 KachelY + 1 15160 -0.27352795 1.20519973 -15.671997 69.052858
    Unten rechts KachelX + 1 29916 KachelY + 1 15160 -0.27343208 1.20519973 -15.666504 69.052858
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20523401-1.20519973) × R
    3.42800000001642e-05 × 6371000     		dl = 218.397880001046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20523401-1.20519973) × R
    3.42800000001642e-05 × 6371000     		dr = 218.397880001046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27352795--0.27343208) × cos(1.20523401) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.357474511494931 × 6371000     		do = 218.341059707823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27352795--0.27343208) × cos(1.20519973) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.357506526161724 × 6371000     		du = 218.360613874762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20523401)-sin(1.20519973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357474511494931-0.357506526161724)×R²
    abs(-0.27343208--0.27352795)×3.2014666793867e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.2014666793867e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.2014666793867e-05×40589641000000     		ar = 47687.3598562703m²