Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29913 / 42615
↖ ↑ ↗
← S 47.483801°
W 15.682984°		 ← 412.81 m → S 47.483801°
W 15.677490°		 →
↑
412.78 m
↓
↑
412.78 m
↓
S 47.487513°
W 15.682984°		 ← 412.78 m →
170 394 m²		 S 47.487513°
W 15.677490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456443786621094 y=0.650260925292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456443786621094 × 216)
    floor (0.456443786621094 × 65536)
    floor (29913.5)     		tx = 29913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650260925292969 × 216)
    floor (0.650260925292969 × 65536)
    floor (42615.5)     		ty = 42615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29913 / 42615 ti = "16/29913/42615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29913/42615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29913 ÷ 216
    29913 ÷ 65536     		x = 0.456436157226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42615 ÷ 216
    42615 ÷ 65536     		y = 0.650253295898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456436157226562 × 2 - 1) × π
    -0.087127685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27371970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650253295898438 × 2 - 1) × π
    -0.300506591796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.944069301117386
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27371970} λ = -0.27371970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.944069301117386))-π/2
    2×atan(0.389041482933524)-π/2
    2×0.371023830158024-π/2
    0.742047660316047-1.57079632675     		φ = -0.82874867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27371970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.682984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82874867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.483801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29913 KachelY 42615 -0.27371970 -0.82874867 -15.682984 -47.483801
    Oben rechts KachelX + 1 29914 KachelY 42615 -0.27362382 -0.82874867 -15.677490 -47.483801
    Unten links KachelX 29913 KachelY + 1 42616 -0.27371970 -0.82881346 -15.682984 -47.487513
    Unten rechts KachelX + 1 29914 KachelY + 1 42616 -0.27362382 -0.82881346 -15.677490 -47.487513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82874867--0.82881346) × R
    6.47900000000368e-05 × 6371000     		dl = 412.777090000234m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82874867--0.82881346) × R
    6.47900000000368e-05 × 6371000     		dr = 412.777090000234m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27371970--0.27362382) × cos(-0.82874867) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.675798627123702 × 6371000     		do = 412.81259156045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27371970--0.27362382) × cos(-0.82881346) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.675750869883859 × 6371000     		du = 412.783418979811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82874867)-sin(-0.82881346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675798627123702-0.675750869883859)×R²
    abs(-0.27362382--0.27371970)×4.77572398432935e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.77572398432935e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.77572398432935e-05×40589641000000     		ar = 170393.559432873m²