Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29913 / 29559
↖ ↑ ↗
← S 80.857129°
E148.634033°		 ← 194.11 m → S 80.857129°
E148.645020°		 →
↑
194.12 m
↓
↑
194.12 m
↓
S 80.858875°
E148.634033°		 ← 194.08 m →
37 679 m²		 S 80.858875°
E148.645020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912887573242188 y=0.902084350585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912887573242188 × 215)
    floor (0.912887573242188 × 32768)
    floor (29913.5)     		tx = 29913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902084350585938 × 215)
    floor (0.902084350585938 × 32768)
    floor (29559.5)     		ty = 29559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29913 / 29559 ti = "15/29913/29559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29913/29559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29913 ÷ 215
    29913 ÷ 32768     		x = 0.912872314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29559 ÷ 215
    29559 ÷ 32768     		y = 0.902069091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912872314453125 × 2 - 1) × π
    0.82574462890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59415326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902069091796875 × 2 - 1) × π
    -0.80413818359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.52627460997696
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59415326} λ = 2.59415326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52627460997696))-π/2
    2×atan(0.0799563346674746)-π/2
    2×0.0797865979101095-π/2
    0.159573195820219-1.57079632675     		φ = -1.41122313
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59415326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.634033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41122313 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.857129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29913 KachelY 29559 2.59415326 -1.41122313 148.634033 -80.857129
    Oben rechts KachelX + 1 29914 KachelY 29559 2.59434501 -1.41122313 148.645020 -80.857129
    Unten links KachelX 29913 KachelY + 1 29560 2.59415326 -1.41125360 148.634033 -80.858875
    Unten rechts KachelX + 1 29914 KachelY + 1 29560 2.59434501 -1.41125360 148.645020 -80.858875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41122313--1.41125360) × R
    3.04700000000047e-05 × 6371000     		dl = 194.12437000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41122313--1.41125360) × R
    3.04700000000047e-05 × 6371000     		dr = 194.12437000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59415326-2.59434501) × cos(-1.41122313) × R
    0.000191749999999935 × 0.158896840347548 × 6371000     		do = 194.114616869483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59415326-2.59434501) × cos(-1.41125360) × R
    0.000191749999999935 × 0.158866757389322 × 6371000     		du = 194.077866346958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41122313)-sin(-1.41125360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158896840347548-0.158866757389322)×R²
    abs(2.59434501-2.59415326)×3.00829582260131e-05×R²
    0.000191749999999935×3.00829582260131e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.00829582260131e-05×40589641000000     		ar = 37678.8106247094m²