Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29913 / 20775
↖ ↑ ↗
← N 54.854477°
W 15.682984°		 ← 351.64 m → N 54.854477°
W 15.677490°		 →
↑
351.62 m
↓
↑
351.62 m
↓
N 54.851315°
W 15.682984°		 ← 351.67 m →
123 647 m²		 N 54.851315°
W 15.677490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456443786621094 y=0.317008972167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456443786621094 × 216)
    floor (0.456443786621094 × 65536)
    floor (29913.5)     		tx = 29913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317008972167969 × 216)
    floor (0.317008972167969 × 65536)
    floor (20775.5)     		ty = 20775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29913 / 20775 ti = "16/29913/20775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29913/20775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29913 ÷ 216
    29913 ÷ 65536     		x = 0.456436157226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20775 ÷ 216
    20775 ÷ 65536     		y = 0.317001342773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456436157226562 × 2 - 1) × π
    -0.087127685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27371970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317001342773438 × 2 - 1) × π
    0.365997314453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.14981447428667
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27371970} λ = -0.27371970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14981447428667))-π/2
    2×atan(3.15760703804616)-π/2
    2×1.26409378475607-π/2
    2.52818756951214-1.57079632675     		φ = 0.95739124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27371970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.682984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95739124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.854477°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29913 KachelY 20775 -0.27371970 0.95739124 -15.682984 54.854477
    Oben rechts KachelX + 1 29914 KachelY 20775 -0.27362382 0.95739124 -15.677490 54.854477
    Unten links KachelX 29913 KachelY + 1 20776 -0.27371970 0.95733605 -15.682984 54.851315
    Unten rechts KachelX + 1 29914 KachelY + 1 20776 -0.27362382 0.95733605 -15.677490 54.851315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95739124-0.95733605) × R
    5.51899999999828e-05 × 6371000     		dl = 351.61548999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95739124-0.95733605) × R
    5.51899999999828e-05 × 6371000     		dr = 351.61548999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27371970--0.27362382) × cos(0.95739124) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.575655106263214 × 6371000     		do = 351.639773630414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27371970--0.27362382) × cos(0.95733605) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.575700233841436 × 6371000     		du = 351.66733987836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95739124)-sin(0.95733605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575655106263214-0.575700233841436)×R²
    abs(-0.27362382--0.27371970)×4.51275782223926e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.51275782223926e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.51275782223926e-05×40589641000000     		ar = 123646.837699557m²